[Toán 10]bất đẳng thức

[nhavanbecon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c dương và a+b+c=1.Chứng minh rằng:$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+ \dfrac{1}{cb} +\dfrac{1}{ac}\ge 30$

 

[nguyenbahiep1]

Cho a,b,c dương và a+b+c=1.Chứng minh rằng:$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+ \dfrac{1}{cb} +\dfrac{1}{ac}\ge 30$

ta có bất đẳng thức sau

[laTEX](a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac) \Rightarrow ab+bc+ca \leq \frac{1}{3}[/laTEX]

mặt khác

[laTEX]\frac{1}{a^2+b^2+c^2} + 9(a^2+b^2+c^2) \geq 2.3 \\ \\ \frac{1}{ab}+81ab \geq 2.9 \\ \\ \frac{1}{ac}+81ac \geq 2.9 \\ \\ \frac{1}{cb}+81cb \geq 2.9 \\ \\ \Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+ \frac{1}{cb} +\frac{1}{ac}\ge 2(3+9+9+9) - 9(a^2+b^2+c^2+ 9(ab+bc+ac) ) \\ \\ VT \geq 60 - 9( (a+b+c)^2 +7(ab+cb+ac)) \\ \\ VT \geq 51 - 63.(ab+bc+ac) \geq 51 - 63.\frac{1}{3} = 30 \Rightarrow dpcm \\ \\ a = b = c = \frac{1}{3}[/laTEX]