[Toán 10] Bất đẳng thức

[hai6f2009]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mong các bạn giúp mình bài sau:
cho x,y,z>0 cmr:
[TEX]({x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3})(\frac{1}{{x}^{3}}+\frac{1}{{y}^{3}}+\frac{1}{{z}^{3}})\geq \frac{3}{2}(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z})[/TEX]
Mình xin chân thành cảm ơn các bạn!

hthtb22: ĐỀ bài sai mình đã sửa

 

[hai6f2009]

mong các bạn giúp mình bài thứ 2:

còn đây là bài 2, mình xin các bạn giúp mình giải bài này:
cho abc=1, cmr: [TEX]\frac{1}{2a+1} + \frac{1}{2b+1}+ \frac{1}{2c+1} \geq 1[/TEX]

 

[hthtb22]

Xét bài toán sau
Cho $a;b;c>0.$ Chứng minh :
$\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) \ge \frac{3}{2}\left( {\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c}} \right)$

BĐT $ \Leftrightarrow \dfrac{a^3}{b^3}+ \dfrac{b^3}{c^3}+ \dfrac{c^3}{a^3}+ \dfrac{a^3}{c^3}+ \dfrac{c^3}{b^3}+ \dfrac{b^3}{a^3}+3$

$ \geq \dfrac{3}{2} \Bigg( \dfrac{a+b}{c}+ \dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{c+a}{b} \Bigg) (1)$

Ta có: $ \dfrac{a^3}{b^3}+1+1 \geq \dfrac{3a}{b}; \dfrac{b^3}{c^3}+1+1 \geq \dfrac{3b}{c}; \dfrac{a^3}{c^3}+1+1 \geq \dfrac{3a}{c}; \dfrac{c^3}{b^3}+1+1 \geq \dfrac{3c}{b}; \dfrac{b^3}{a^3}+1+1 \geq \dfrac{3b}{a}$

Vậy ta có $VT(1) \geq 3 \Bigg( \dfrac{a+b}{c}+ \dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{c+a}{b} \Bigg)-9$

$= \dfrac{3}{2} \Bigg( \dfrac{a+b}{c}+ \dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{c+a}{b} \Bigg)+ \dfrac{3}{2} \Bigg( \dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{c}+ \dfrac{c}{a}+ \dfrac{a}{c}+ \dfrac{c}{b}+ \dfrac{b}{a} \Bigg) -9$

$ \geq \dfrac{3}{2} \Bigg( \dfrac{a+b}{c}+ \dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{c+a}{b} \Bigg) \Rightarrow$ đpcm.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$.