[Toán 10] Bất đẳng thức.

[hailixiro142]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

\forall x, y, z > 0 thỏa mãn [TEX]xyz=1[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+x)(1+z)}+ \frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\geq\frac{3}{4}[/TEX]

Giải chi tiết giúp mình.
_____________________
tks

 

[bosjeunhan]

Dùng AM_GM
$$\dfrac{x^3}{(1+x)(1+y)} + \dfrac{1+x}{8} + \dfrac{1+y}{8} \ge \dfrac{3x}{4}$$
Tương tự, cộng lại~

Tại sao thì là điểm rơi nhé~

 

[hailixiro142]

Dùng AM_GM
$$\dfrac{x^3}{(1+x)(1+y)} + \dfrac{1+x}{8} + \dfrac{1+y}{8} \ge \dfrac{3x}{4}$$
Tương tự, cộng lại~

Tại sao thì là điểm rơi nhé~

Trời ạ! Giải cụ thể ra cho mình đi (
______________________________
_________________________

 

[nguyenbahiep1]

Trời ạ! Giải cụ thể ra cho mình đi (
______________________________
_________________________

bạn ý làm thế là chuẩn rồi còn cụ thể gì nữa hả em , nên quen việc nhìn gợi ý mà làm đi

Giải.

Theo co si với 3 số ta có

[laTEX]\frac{z^3}{(1+y)(1+x)}+ \frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{z^3}{(1+y)(1+x)}.\frac{1+x}{8}.\frac{1+y}{8}} = \frac{3z}{4}\\ \\ \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+ \frac{1+z}{8}+\frac{1+y}{8} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}.\frac{1+y}{8}.\frac{1+z}{8}} = \frac{3z}{4} \\ \\ \frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \frac{1+x}{8}+\frac{1+z}{8} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}.\frac{1+x}{8}.\frac{1+z}{8}} = \frac{3y}{4}[/laTEX]


cộng tương ứng 3 vế vào ta có

[laTEX]\frac{z^3}{(1+y)(1+x)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \frac{z^3}{(1+y)(1+z)} + \frac{6+2(x+z+y)}{8} \geq \frac{3(x+y+z)}{4}\\ \\ \frac{z^3}{(1+y)(1+x)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \frac{z^3}{(1+y)(1+z)} \geq -\frac{3}{4}+\frac{x+y+z}{2} \\ \\ mat-khac : \frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2} = \frac{3}{2} \\ \\ \Rightarrow \frac{z^3}{(1+y)(1+x)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \frac{z^3}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{3}{2}-\frac{3}{4} =\frac{3}{4} \Rightarrow dpcm \\ \\ dau-bang-xay-ra : x = y = z = 1[/laTEX]