[Toán 10] Bất đẳng thức

[cucaibapcai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 CMR với mọi a,b,c>0 ta có
a, [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
b, [TEX]\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}[/TEX]
c, [TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) \geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)[/TEX]
Bài 2 [TEX]x,y >0[/TEX] và [TEX]x+y=1[/TEX], cm
[TEX]\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy \geq 7[/TEX]

 

[congchuatieuquy]

Bài 1 CMR với mọi a,b,c>0 ta có
a, [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
b, [TEX]\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}[/TEX]
c, [TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) \geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)[/TEX]
Bài 2 [TEX]x,y >0[/TEX] và [TEX]x+y=1[/TEX], cm
[TEX]\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy \geq 7[/TEX]

a, ta có [tex] \frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a \Rightarrow\frac{a^2}{b+c} \geq a-\frac{b+c}{4}[/tex]
tương tự ta có[tex] \frac{b^2} {c+a}\geq b-\frac{c+a}{4}[/tex]
[tex] \frac{c^2}{a+b}\geq c-\frac{a+b}{4} [/tex]
rồi cộng các vế lại sẽ ra thôi ........
:khi (195): :khi (195): :khi (195): :khi (195):

 

[bosjeunhan]

Bài 1 CMR với mọi a,b,c>0 ta có
a, [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
b, [TEX]\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}[/TEX]
c, [TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) \geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)[/TEX]
Bài 2 [TEX]x,y >0[/TEX] và [TEX]x+y=1[/TEX], cm
[TEX]\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy \geq 7[/TEX]

Câu a: Dùng BĐT svacxo
Câu b: Dùng BĐT chebyshev
Câu c: Chắc nhân tung ra
Câu d: Điểm rơi BĐT cauchy

 

[asroma11235]

Bài 1 CMR với mọi a,b,c>0 ta có
a, [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
b, [TEX]\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}[/TEX]
c, [TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) \geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)[/TEX]
Bài 2 [TEX]x,y >0[/TEX] và [TEX]x+y=1[/TEX], cm
[TEX]\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy \geq 7[/TEX]

1/
[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq^{Cauchy-Schwarz} \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}= \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
2/
[TEX]\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}=\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ca+2bc} \geq^{Cauchy-Schwarz} \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}{3(ab+bc+ca)} = \frac{a^2+b^2+c^2}{3}[/TEX]
3/Sử dụng ý tưởng ghép đối xứng:
[TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+b^3) \geq^{Holder} (1+ab^2)^3[/TEX]
Thiết lập các bdt tương tự rồi nhân lại.
Chú ý:: Bạn có thể phát biểu bdt Holder dưới dạng bổ đề:
[TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) \geq (1+abc)^3[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]VT=1+(a^3+b^3+c^3)+(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+a^3b^3c^3 \geq 1+3abc+3a^2b^2c^2+a^3b^3c^3=(1+abc)^3[/TEX]
4/
[TEX]\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy = (\frac{1}{x^2+y^2}+1\frac{1}{2xy})+(\frac{1}{2xy}+8xy)-4xy \geq \frac{4}{(x+y)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2xy}.8xy}-(x+y)^2=7[/TEX]
//.