toán 10 Bất Đẳng thức

[cold_person]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c dương.
ab+bc+ac\leq3abc
c/m

[tex]\frac{a^4b}{2a+b}+\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{c^4a}{2c+a}\geq1[/tex]

 

[0915549009]

cho a,b,c dương.
ab+bc+ac\leq3abc
c/m

[tex]P=\frac{a^4b}{2a+b}+\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{c^4a}{2c+a}\geq1[/tex]

[TEX]ab+bc+ca \leq 3abc \Rightarrow a+b+c \leq 3abc[/TEX]
[TEX] P = \frac{a^4b}{2a+b}+\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{c^4a}{2c+a} = \frac{a^4b^2}{2ab+b^2}+\frac{b^4c^2}{2bc+c^2}+ \frac {c^4a^2} {2ca+a^2}[/TEX]
[TEX]P \geq \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2}{(a+b+c)^2} \geq \frac{(3abc)^2}{(3abc)^2}=1 \ ( \ ap \ dung \ cauchy \ va \ schwarz\ )[/TEX]

 

[nhock_yohanquoc]

bài này ai có cách giải chỉ dùng cosi thôi k nhỉ? ngắn gọn thì chắc k nhưng mà mún hỏi cách giải theo côsi thôi

 

[nerversaynever]

bài này ai có cách giải chỉ dùng cosi thôi k nhỉ? ngắn gọn thì chắc k nhưng mà mún hỏi cách giải theo côsi thôi

[TEX]\begin{array}{l} a = \frac{1}{x},b = \frac{1}{y},c = \frac{1}{z} = > x + y + z \le 3 \\ bdt \Leftrightarrow \frac{1}{{x^3 \left( {2y + x} \right)}} + \frac{1}{{y^3 \left( {2z + y} \right)}} + \frac{1}{{z^3 \left( {2x + z} \right)}} \ge 1 \\\frac{1}{{x^3 \left( {2y + x} \right)}} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{{2y + x}}{9} \ge \frac{5}{3} \\ \frac{1}{{y^3 \left( {2z + y} \right)}} + \frac{y}{3} + \frac{y}{3} + \frac{y}{3} + \frac{{2z + y}}{9} \ge \frac{5}{3} \\ \frac{1}{{z^3 \left( {2x + z} \right)}} + \frac{z}{3} + \frac{z}{3} + \frac{z}{3} + \frac{{2x + z}}{9} \ge \frac{5}{3} \\ = > VT \ge 5 - \frac{4}{3}\left( {x + y + z} \right) \ge 1 \\\end{array}[/TEX]


p/s: có thể sử dụng

[tex]\frac{1}{{x^2 \left( {2yx + x^2 } \right)}} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{{2xy + x^2 }}{9} \ge \frac{4}{3}[/tex] rồi cũng cộng

 

[tuyn]

cho a,b,c dương.
ab+bc+ac\leq3abc
c/m

[tex]P=\frac{a^4b}{2a+b}+\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{c^4a}{2c+a}\geq1[/tex]

Áp dụng BĐT Cauchy cho 5 số:
[TEX]\frac{a^4b}{2a+b}+\frac{2a+b}{9ab}+ \frac{1}{3a}+ \frac{1}{3a}+ \frac{1}{3a} \geq \frac{5}{3} \Leftrightarrow \frac{a^4b}{2a+b}+\frac{10}{9a}+\frac{2}{9b} \geq \frac{5}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{10}{9b}+\frac{2}{9c} \geq \frac{5}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{c^4a}{2c+a}+\frac{10}{9c}+\frac{2}{9a} \geq \frac{5}{3}[/TEX]
Cộng vế với vế lại:
[TEX]P+\frac{4}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 5[/TEX]
[TEX]ab+bc+ac\leq3abc \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 5 \leq P+\frac{4}{3}.3 \Leftrightarrow P \geq 1[/TEX]