[Toán 10] Bất đẳng thức

[tigerboy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.) Cho [TEX]{x}^{2} - xy + {y}^{2} = xy(x+y)[/TEX].
Tìm GTLN của
[TEX] P = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}[/TEX]

2.) Cho [TEX]a, b, c[/TEX] \geq [TEX]0[/TEX] ; [TEX]a^2 + b^2 + c^ 2 = 1[/TEX].
Chứng minh:
[TEX]a^3 + 2b^3 + 3c^3[/TEX] \geq [TEX]\frac{6}{7}[/TEX]

3.) Cho [TEX]x, y[/TEX] \geq [TEX]0[/TEX] và [TEX]x + y + 1 = 3xy.[/TEX]
Tìm GTLN
[TEX]P = \frac{3x}{y(x+1)} + \frac{3y}{x(y+1)} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

1.) Cho [TEX]{x}^{2} - xy + {y}^{2} = xy(x+y)[/TEX].
Tìm GTLN của
[TEX] P = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}[/TEX]

[TEX] P = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}=\frac{x^3+y^3}{x^3y^3}=\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^3y^3}=\frac{(x+y)(x+y)xy}{x^3y^3}=( \frac{x+y}{xy})^2[/TEX]
đặt [TEX]A=x+y;B=xy :(x+y)^2\geq 4xy \Rightarrow A^2\geq 4B[/TEX]

[TEX]xy(x+y)=x^2-xy+y^2\Rightarrow AB=A^2-3B\Rightarrow B=\frac{A^2-AB}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow S^2\geq 4\frac{A^2-AB}{3}\Leftrightarrow 1\geq 4\frac{1-\frac{B}{A}}{3}\Leftrightarrow \frac{B}{A}\geq \frac 14[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\frac{B}{A})^2\geq \frac{1}{16}[/TEX]
[TEX]P=\frac{A^2}{B^2}\leq 16[/TEX]

 

[khanh_ndd]

2.) Cho [TEX]a, b, c[/TEX] \geq [TEX]0[/TEX] ; [TEX]a^2 + b^2 + c^ 2 = 1[/TEX].
Chứng minh:
[TEX]a^3 + 2b^3 + 3c^3[/TEX] \geq [TEX]\frac{6}{7}[/TEX]

3.) Cho [TEX]x, y[/TEX] \geq [TEX]0[/TEX] và [TEX]x + y + 1 = 3xy.[/TEX]
Tìm GTLN
[TEX]P = \frac{3x}{y(x+1)} + \frac{3y}{x(y+1)} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}[/TEX]

2.theo CS
[TEX](a^3+2b^3+3c^3)(a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3})\geq (a^2+b^2+c^2)^2[/TEX]
[TEX](a^2+b^2+c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3})^2[/TEX]
\Rightarrow đpcm
3. từ gt ta có [TEX]4xy=(x+1)(y+1)\geq 4\sqrt{4xy}\Rightarrow xy\leq 1[/TEX]
[TEX]P = \frac{3x}{y(x+1)} + \frac{3y}{x(y+1)} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{3x^2(y+1)+3y^2(y+1)}{xy(x+1)(y+1)}-\frac{4(x^2+y^2)}{4x^2y^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{3xy(3xy-1)-(x^2+y^2)}{4x^2y^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{3xy(3xy-1)-(x+y)^2+2xy}{4x^2y^2} [/TEX]
[TEX]= \frac{3xy(3xy-1)-(3xy-1)^2+2xy}{4x^2y^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{5xy-1}{4x^2y^2}[/TEX]
lại có [TEX]4x^2y^2-5xy+1=(xy-1)(4xy-1)\geq 0 \Rightarrow P\leq 1[/TEX]
dấu = khi [TEX]x=y=1[/TEX]