[toán 10] bất đẳng thức và GTNN

[princess2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho các số nguyên x và y thoả mãn $4x+5y=7$. Tìm Min $P=5|x|-3|y|$

2. Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $abc=\dfrac{1}{6}$ Cm

$3+\dfrac{a}{2b}+\dfrac{2b}{3c}+
\dfrac{3c}{a} \ge a+2b+3c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}$

 

[eye_smile]

1b,
+/x;y cùng dương
Có $4x+5y=7$
\Rightarrow y=1
Nhưng không có giá trị x nguyên tm
+/ x >0; y <0
\Rightarrow $P=5|x|-3|y|=5x+3y=5.\dfrac{7-5y}{4}+3y=\dfrac{35-13y}{4}$
P min \Leftrightarrow y lớn nhất( do y<0)
Mà y nguyên nên y=-1. Khi đó P=12
Thay vào tìm được x=3(tm)
+/ x<0; y > 0
\Rightarrow $P=-5x-3y=-5x-3.\dfrac{7-4x}{5}=\dfrac{-13x-21}{5}$
P min \Leftrightarrow x max
Mà x nguyên ; x < 0 ;y>0 nên x=-2(x=-1 thì y không nguyên)
\Rightarrow P min=1 tại x=-2;y=3
+/x;y cùng âm --->không thỏa mãn 4x+5y=7
+/ 1 trong 2 số x;y có 1 số =0
---> không có cặp số nguyên nào tm 4x+5y=7

Kết hợp lại được Min P=1 tại x=-2;y=3

 

[eye_smile]

2,Đặt :
$x=a;y=2b;z=3c$ \Rightarrow $xyz=1$

BDT \Leftrightarrow $3+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \ge x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$

Do $xyz=1$ nên tồn tại các số $m;n;p$ sao cho : $x=\dfrac{m}{n};y=\dfrac{n}{p};z=\dfrac{p}{m}$

BDT \Leftrightarrow $3+\sum \dfrac{m^{2}}{np} \ge \sum \dfrac{m}{n}$

\Leftrightarrow $m^{3}+n^{3}+p^{3}+3mnp\ge m^{2}n+m^{2}p+n^{2}m+n^{2}p+p^{2}m+p^{2}n$

Bất đẳng thức trên luôn đúng theo BĐT Schur bậc 3

Suy ra $(đpcm)$

Dấu $=$ xảy ra \Leftrightarrow $m=n=p$ \Leftrightarrow $x=y=z=1$ \Leftrightarrow $a=2b=3c=1$