[Toán 10] Bất đẳng thức - tách cặp nghịch đảo

[zezo_flyer]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài1: chứng minh các bất đẳng thức sau:

a. [TEX]\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy} \geq x+y+z[/TEX]

b. [TEX]2a^4+\frac{1}{1+a^2}\geq 3a^2-1[/TEX]



_______________________
tớ hỏi có 1 bài thôi, bạn nào giải được cả 2 câu thì viết cùng 1 bài luôn ý

 

[anhbez9]

a)
ta có điều phải CM tương đương :
[TEX]\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz}\geq x+y+z[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)[/TEX]
lại có:[TEX]a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc (a,b\geq 0)[/TEX](I)
ÁP DỤNG,ta dc:
[TEX]x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\geq xyz(x+y+z)[/TEX](II)
TỪ (I)và(II),ta dc:
[TEX]\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\geq x+y+z[/TEX]
Dẫu= <=>x=y=z

 

[zezo_flyer]

Với a,b,c>0 chứng minh bất đẳng thức:

[TEX](a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq(a+b+c)^2[/TEX]

 

[congchuaanhsang]

[TEX](a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq(a+b+c)^2[/TEX]

Do a,b,c> o nên Cauchy-Schwarz:

$(a^3+b^3+c^3)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

$=[(a\sqrt{a})^2+(b\sqrt{b})^2+(c\sqrt{c})^2][(\dfrac{1}{\sqrt{a}})^2+(\dfrac{1}{\sqrt{b}})^2+(\dfrac{1}{\sqrt{c}})^2]$

\geq $(a+b+c)^2$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c > 0$

 

[huynhbachkhoa23]

Áp dụng Holder:

$\sum a^3 \ge \dfrac{(\sum a)^3}{9}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$\sum \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{9}{\sum a}$

Nhân vào.

 

[congchuaanhsang]

a. [TEX]\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy} \geq x+y+z[/TEX]

$VT=\dfrac{x^4}{xyz}+\dfrac{y^4}{xyz}+\dfrac{z^4}{xyz}$

\geq $\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3xyz}$

\geq $\dfrac{(x+y+z)^4}{27xyz}$ \geq $\dfrac{(x+y+z)^4}{(x+y+z)^3}=x+y+z$

 

[zezo_flyer]

bài này yêu cầu cm kiểu tách cặp nghịch đảo mà
______________________________________________________

 

[huynhbachkhoa23]

Bài1: chứng minh các bất đẳng thức sau:

a. [TEX]\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy} \geq x+y+z[/TEX]

b. [TEX]2a^4+\frac{1}{1+a^2}\geq 3a^2-1[/TEX]

c. [TEX]a+ \frac{27}{b2(a-1)(a+1)^3\geq \frac{5}{2} (a>1)[/TEX]

_______________________
tớ hỏi có 1 bài thôi, bạn nào giải được cả 2,3 câu thì viết cùng 1 bài luôn ý

Bài a:

Cauchy:

$\dfrac{x^3}{yz}+y+z \ge 3x$

Tương tự rồi cộng lại.

Bài b:

$f(x)=(VT-VP)(x+1)=2x^3-x^2-2x+1$ với $x=a^2\ge 0$

$f'(x)=6x^2-2x-2=0$ có nghiệm $x_0=\dfrac{1+\sqrt{13}}{6}$

$f''(x)=6x-2$; $f''(x_0)>0$

Vậy $f(x)>0$ với mọi $x=a^2 \ge 0$ nên $VT - VP > 0$