[Toán 10] Bất đẳng thức Schur

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ta hãy cùng tìm các lời giải độc đáo cho bất đẳng thức Schur bậc 3.
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ thì ta luôn có bất đẳng thức: $a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Lời giải của em.
Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì tồn tại các số thực không âm $x,y$ sao cho $a=c+x, b=c+y$ thì bất đẳng thức trở thành $cxy+(c+x+y)(x-y)^2\ge 0$ luôn đúng.

 

[viethoang1999]

$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
\Leftrightarrow $\sum [a^3-a^2(b+c)+abc]\ge 0$
\Leftrightarrow $\sum a(a-b)(a-c)\ge 0$
Giả sử $a\ge b\ge c$
\Rightarrow $c(c-a)(c-b)\ge 0$
và $a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)=(a-b)^2(a+b-c)\ge 0$

 

[congchuaanhsang]

Ta hãy cùng tìm các lời giải độc đáo cho bất đẳng thức Schur bậc 3.
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ thì ta luôn có bất đẳng thức: $a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Lời giải của em.
Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì tồn tại các số thực không âm $x,y$ sao cho $a=c+x, b=c+y$ thì bất đẳng thức trở thành $cxy+(c+x+y)(x-y)^2\ge 0$ luôn đúng.

Cái này là trường hợp $k=1$ của bất đẳng thức $a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)$ với $k$ tự nhiên, $a,b,c > 0$ mà

Cách của viethoang1999 là 1 trường hợp trong cách chứng minh tổng quát

 

[huynhbachkhoa23]

Cái này là trường hợp $k=1$ của bất đẳng thức $a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)$ với $k$ tự nhiên, $a,b,c > 0$ mà

Cách của viethoang1999 là 1 trường hợp trong cách chứng minh tổng quát

Ý em là một lời giải độc đáo ý, như em làm là dùng Bufalo way, anh hoàng dùng tư tưởng V-S
Giờ em sẽ dùng E.M.V
Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì ta xét hiệu:
$a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)-(a-c)^3-(b-c)^3+(a-c)(b-c)(a+b-2c)=c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\ge 0$
Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $c=0$ là đủ, mà điều này hiển nhiên vì nó tương đương với $(a+b)(a-b)^2\ge 0$