[Toán 10]Bất đẳng thức nè!!!!!!giúp nhé !!!

H

hg201td

Last edited by a moderator:
N

ngomaithuy93

[tex]a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a^2+\frac{1}{a})+(b^2+\frac{1}{b})+(c^2+\frac{1}{c}).[/tex]
Aps dụng BDT Cô-si cho hai số dương ta có:
[tex]a^2+\frac{1}{a}\geq2\sqrt{a}[/tex]
tương tự với b và c\Rightarrow đpcm.
 
Last edited by a moderator:
H

hg201td

bạn à....Chú ý a+b+c[TEX]\leq[/TEX][TEX]3/2[/TEX]
đó bạn làm sai rùi...........
aj làm lại hộ tui nhá!!!!!!!!!
Hãy mỉm cười với bao chuyện đời,hãy thật lòng nói xin cảm ơn hãy rộng lượng thứ tha lỗi lầm.Hãy cho niềm yêu thương.Dẫu có những sóng gió phía trước hãy cố gắng vượt qua dù ko dễ dàng.Trong cuộc đời còn những giấc mơ đẹp tươi hãy nói
Tôi yêu mọi người.....
 
Last edited by a moderator:
Q

quang1234554321

hg201td said:
Cho a,b,c>o và a+b+c[TEX]\leq[/TEX][TEX]3/2[/TEX]
Tìm min của:
S=[TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]+[TEX]c^2[/TEX]+[TEX]1/a[/TEX]+[TEX]1/b[/TEX]+[TEX]1/c[/TEX]
Giúp!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
;););););););););););););)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Trước hết ta chọn điểm rơi : Ta thấy vai trò của [TEX]a,b,c [/TEX] nên dự đoán [TEX]S_{min} [/TEX] khi [TEX]a=b=c= \frac{1}{2} \Rightarrow Smin = \frac{27}{4}[/TEX]

Áp dụng [TEX]Cauchy[/TEX] với 4 số :

[TEX]4a^2+ \frac{1}{2a} + \frac{1}{2a} +1 \geq 4[/TEX]
Xây dựng các BDT tương tự với [TEX]b,c[/TEX] . Cộng lại theo vế thu được :

[TEX]A=4a^2+4b^2+4c^2+ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} + 3 \geq 12 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4S = A + 3 ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} ) -3 \geq 12+ 3 ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} ) -3 [/TEX]

Mặt khác [TEX]\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c} \geq \frac{9}{ \frac{3}{2}} = 6[/TEX]

Thay vào trên thu được : [TEX]4S \geq 12 + 3.6 -3 = 27[/TEX]

Hay [TEX]S \geq \frac{27}{4}[/TEX]

Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{2}[/TEX]

Vậy [TEX]Smin= \frac{27}{4}[/TEX]
 
H

hai_oanh

anh ơi anh có thể chỉ cho em cách xác định điểm rơi cho em đuợc không ạ
Em cảm ơn anh
 
Q

quang1234554321

Cái này khó nói cụ thể quá . Phải từ bài tập mới ra được em ạ
Đối với những bài mà vai trò của a,b,c là như nhau thì để biểu thức đạt min hay max thì a=b=c . thường là thế , còn có những bài phức tạp hơn thì lại không được . Nhưng từ thi đại học trở xuống thì nó cũng chỉ giới hạn ở những bài như thế này thôi .

Trước hết ta dự đoán với a=b=c rồi thay vào ta sẽ dự đoán được min hay max cần tìm
Từ đó ta đã có KQ bài toán và chỉ việc đi CM KQ đó .
Khó nói quá . Em nên mua sách về BDT mà đọc
 
T

tiendung2992

Bài làm anh Q nice quá . Cách chọn điểm rơi thường thường là khi các biến có giá trị bằng nhau ( thường thôi nhé ) . Còn về kĩ thuật chọn điểm rơi , bạn nên kẻ cái bảng rồi xem tính biên thiên của nó thế nào . Bạn nên mua quyển SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN BDT , rất hay đó !
 
G

giangln.thanglong11a6

Thêm 1 bài về chọn điểm rơi: (dễ thôi)

Cho x, y, z không âm với [TEX]x+y+z=4[/TEX]. Tìm [TEX]min (x^2+y^2+z^3)[/TEX]
 
G

giangln.thanglong11a6

Nói chung những bài BĐT của tớ có thể giải bằng đạo hàm để giúp ích cho HS lớp 12.

Nếu chưa làm được bài ở trên thì có thể thử bài này:

Cho [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]. Tìm [TEX]max (2x+y^5) [/TEX]
 
V

vodichhocmai

giangln.thanglong11a6 said:
Thêm 1 bài về chọn điểm rơi: (dễ thôi)

Cho x, y, z không âm với [TEX]x+y+z=4[/TEX]. Tìm [TEX]min (x^2+y^2+z^3)[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Gọi [TEX]a,b>0[/TEX] là 2 số tới hạn.
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta có.
[TEX]z^3+b^3+b^3\ge 3z.b^2[/TEX]
[TEX]y^2+a^2\ge 2y.a[/TEX]
[TEX]x^2+a^2\ge 2x.a[/TEX]
__________ _______
[TEX]\righ (x^2+y^2+z^3)\ge 2a(x+y+z)-2a^2-2b^3[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi.
[TEX]\left{3b^2=2a\\b+2a=4\\a,b>0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow \left{3b^2+b-4=0\\3b^2=2a\\a,b>0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow\left{b=1\\a=\frac{3}{2}[/TEX]
Vậy [TEX](x^2+y^2+z^3)\ge\frac{11}{2} [/TEX]
 
V

vodichhocmai

Lấy con nầy tập.
Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] Thoả [TEX]a+b+c+d=4[/TEX] Tìm [TEX]Min(a^2+b^3+c^2+d^3)[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
G

giangln.thanglong11a6

giangln.thanglong11a6 said:
Thêm 1 bài về chọn điểm rơi: (dễ thôi)

Cho x, y, z không âm với [TEX]x+y+z=4[/TEX]. Tìm [TEX]min (x^2+y^2+z^3)[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

vodichhocmai said:
Gọi [TEX]a,b>0[/TEX] là 2 số tới hạn.
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta có.
[TEX]z^3+b^3+b^3\ge 3z.b^2[/TEX]
[TEX]y^2+a^2\ge 2y.a[/TEX]
[TEX]x^2+a^2\ge 2x.a[/TEX]
__________ _______
[TEX]\righ (x^2+y^2+z^3)\ge 2a(x+y+z)-2a^2-2b^3[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi.
[TEX]\left{3b^2=2a\\b+2a=4\\a,b>0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow \left{3b^2+b-4=0\\3b^2=2a\\a,b>0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow\left{b=1\\a=\frac{3}{2}[/TEX]
Vậy [TEX](x^2+y^2+z^3)\ge\frac{11}{2} [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Nói chung là tớ không có ý kiến với lời giải dùng AM-GM này. Ở đây xin trình bày 1 cách giải khác:

Theo Cauchy-Schwarz ta có [TEX]x^2+y^2+z^3 \geq \frac12 (x+y)^2+z^3=\frac12 (4-z)^2+z^3[/TEX].

Khảo sát hàm số [TEX]f(z)=\frac12 (4-z)^2+z^3[/TEX] với [TEX]z\geq 0[/TEX] ta có [TEX]minf(z)=\frac{11}{2}[/TEX] đạt được khi [TEX]z=1[/TEX].

Với [TEX]x=y=\frac32[/TEX] và [TEX]z=1[/TEX] thì [TEX]x^2+y^2+z^3=\frac{11}{2}[/TEX]. Vậy [TEX]min(x^2+y^2+z^3)=\frac{11}{2}[/TEX].
 
G

giangln.thanglong11a6

vodichhocmai said:
Lấy con nầy tập.
Cho [TEX]a,b,c,d \geq 0[/TEX] thoả [TEX]a+b+c+d=4[/TEX] Tìm [TEX]min(a^2+b^3+c^2+d^3)[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Áp dụng BĐT [TEX]x^2+y^2 \geq \frac12 (x+y)^2[/TEX] và [TEX]x^3+y^3 \geq \frac14 (x+y)^3[/TEX] với x và y không âm.

Ta có [TEX](a^2+c^2)+(b^3+d^3) \geq \frac12 (a+c)^2+\frac14 (b+d)^3[/TEX].

Đặt [TEX]b+d=t \in [0;4][/TEX] ta có [TEX]a+c=4-t[/TEX].

Ta cần tìm min [TEX]f(t)=\frac12 (4-t)^2+\frac14 t^3[/TEX]

Khảo sát hàm này trên [0;4] ta tìm được min f(t) đạt được khi [TEX]t=\frac{-2+2\sqrt{13}}{3}[/TEX].

Do đó [TEX]min (a^2+b^3+c^2+d^3)[/TEX] đạt được khi [TEX]a=c, b=d=\frac{t}{2}[/TEX].
 
Q

quang1234554321

giangln.thanglong11a6 said:
Nói chung những bài BĐT của tớ có thể giải bằng đạo hàm để giúp ích cho HS lớp 12.

Nếu chưa làm được bài ở trên thì có thể thử bài này:

Cho [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]. Tìm [TEX]max (2x+y^5) [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]x^2+y^2=1 \Rightarrow x;y\in [-1;1] [/TEX].

Ta có : [TEX]2x \leq x^2+1[/TEX]

và [TEX]y^5 \leq y^2[/TEX]

Cộng lại thu được : [TEX]2x+y^5 \leq x^2+y^2+1=2[/TEX]

Dấu [TEX]= [/TEX] xảy ra khi [TEX]x=1 ; y=0[/TEX]

Vậy[TEX] max=2[/TEX]
 
M

mcdat

vodichhocmai said:
[TEX]Cho \ a,\ b, \ c, \ d \in \ [0;1] \ CMR: \\ (1+a+b+c+d)^2 \geq 1+a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hình như bài này sai đề. Phải sửa lại như vậy mới đúng mới đúng

[TEX](1+a+b+c+d)^2 \geq 1+a^2+b^2+c^2+d^2 \\ \Leftrightarrow 1+2(a+b+c+d)+(a+b+c+d)^2 \geq 1+a^2+b^2+c^2+d^2 \\\Leftrightarrow 4+(a+b+c+d)^2 \geq (1-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2+(1-d)^2 \ (*) [/TEX]

(*) là hiển nhiên do [TEX]a, \ b, \ c, \ d \ \in \ [0;1][/TEX]
 
S

study_more_91

mcdat said:


Hình như bài này sai đề. Phải sửa lại như vậy mới đúng mới đúng

[TEX](1+a+b+c+d)^2 \geq 1+a^2+b^2+c^2+d^2 \\ \Leftrightarrow 1+2(a+b+c+d)+(a+b+c+d)^2 \geq 1+a^2+b^2+c^2+d^2 \\\Leftrightarrow 4+(a+b+c+d)^2 \geq (1-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2+(1-d)^2 \ (*) [/TEX]

(*) là hiển nhiên do [TEX]a, \ b, \ c, \ d \ \in \ [0;1][/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

ko cần lằng nhằng thấy luôn điều phải chứng minh
do các số dương hết. :)
[TEX](1+a+b+c+d)^2 \geq 1^2+a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
M

mcdat

Mọi người thử làm bài này coi

[TEX]Cho \ a, \ b, \ c > 0. \ CMR: \\ \frac{a}{b^2+c^2+2a(b+c)} + \frac{b}{bc+2a^2+3ac}+\frac{c}{bc+2a^2+3ab} \geq \frac{3}{2(a+b+c)}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom