[Toán 10] Bất đẳng thức lớp 10

[hn3]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX] .

Chứng minh : [TEX]a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geq \frac{1}{4}[/TEX]

 

[buimaihuong]

bài giải như sau:

[TEX]VT = a^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} + b^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} + c^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} + \frac{15}{4}.abc + \frac{4}{15abc} - \frac{4}{15abc} - \frac{2}{9}[/TEX]

áp dụng bdt cô si ta có

[TEX]a^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} \geq \frac{a}{3}[/TEX]

[TEX]b^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} \geq \frac{b}{3}[/TEX]

[TEX]c^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} \geq \frac{c}{3}[/TEX]

[TEX]\frac{15abc}{4} + \frac{4}{15abc} \geq 2 [/TEX]

[TEX]abc \leq \frac{(a+b+c)^3}{27} = \frac{1}{27}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]\frac{4}{15abc} \geq \frac{36}{5}[/TEX]

Cộng tất cả vào,

Ý tưởng thế thôi, còn phần tính toán c xem lại nhé.

 

[bboy114crew]

bài giải như sau:

[TEX]VT = a^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} + b^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} + c^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} + \frac{15}{4}.abc + \frac{4}{15abc} - \frac{4}{15abc} - \frac{2}{9}[/TEX]

áp dụng bdt cô si ta có

[TEX]a^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} \geq \frac{a}{3}[/TEX]

[TEX]b^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} \geq \frac{b}{3}[/TEX]

[TEX]c^3 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} \geq \frac{c}{3}[/TEX]

[TEX]\frac{15abc}{4} + \frac{4}{15abc} \geq 2 [/TEX]

[TEX]abc \leq \frac{(a+b+c)^3}{27} = \frac{1}{27}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]\frac{4}{15abc} \geq \frac{36}{5}[/TEX]

Cộng tất cả vào,

Ý tưởng thế thôi, còn phần tính toán c xem lại nhé.

Bài này thực ra là BDT Schur chỉ thay[TEX]1=(a+b+c)^3[/TEX] là được!
.........................................