[Toán 10] Bất đẳng thức khó

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài toán. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\sum\limits_{cyclic} \sqrt{\dfrac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}} \ge \sqrt{6}$$
Hình như tác giả là VQBC :-SS

 

[huynhbachkhoa23]

Dùng kỹ thuật CYH. Áp dụng bất đẳng thức Holder:
$$\left(\sum \sqrt{\dfrac{a^2+bc}{b^2+c^2+bc}}\right)^2\left[\sum (a^2+bc)^2(b^2+c^2+bc)(2a+b+c)^3\right] \ge \left[\sum (a^2+bc)(2a+b+c)\right]^3$$
Bung ra chuyển về $f(r)$ (gom theo kiểu D.A.C) và chứng minh $f'(r)$ không đổi dấu. Từ đó quy về chứng minh bất đẳng thức khi $b=c=1$ hoặc $b=0, c=1$