[Toán 10] Bất đẳng thức khó quá

[namonthi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c là các số thực dương.CMR

[TEX]\sqrt{\frac{a+c}{b}}+ \sqrt{\frac{a+b}{c}}+ \sqrt{\frac{b+c}{a}} \geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})[/TEX]

 

[bosjeunhan]

Đề nghị bạn ngõ latex
[TEX]\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\f rac{b+c}{a}} \geq2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac {c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})[/TEX]

 

[hn3]

cho a,b,c la cac số thực dương.CMR

[TEX]\sqrt{\frac{a+c}{b}}+ \sqrt{\frac{a+b}{c}}+ \sqrt{\frac{b+c}{a}} \geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})[/TEX]

Thử coi b-( Giả thiết [TEX]0 < c \leq b \leq a[/TEX]

[TEX]==> a-b \geq b-c ==> a+c \geq 2b ==>(a+c)^2 \geq 4b^2[/TEX]

[TEX]==> \frac{(a+c)^2-4b^2}{b(a+c)} \geq 0[/TEX]

[TEX]==> \frac{a+c}{b} \geq \frac{4b}{a+c}[/TEX]

[TEX]==>\sqrt{\frac{a+c}{b}} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a+c}[/TEX]:-&lt;

 

[namonthi]

bạn ơi ,bạn chỉ chứng minh dc 1 cái thui,con hai cái còn lại không chứng minh được đâu.

 

[minhtuyb]

Em thử xem sao :

Vì BĐT trên là BĐT thuần nhất nên không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a+b+c=3[/tex]. Khi đó dễ thấy [tex] a,b,c\in (0;3)[/tex].
BĐT cần cm tương đương:
[tex]\sum \sqrt{\frac{3-b}{b}}\geq 2\sum \sqrt{\frac{b}{3-b}}(1)[/tex]
Vậy ta cần cm BĐT [tex]\sqrt{\frac{3-b}{b}}\geq 2\sqrt{\frac{b}{3-b}}(2)[/tex] đúng với [tex] b\in (0;3)[/tex].. Thật vậy:
[tex](2)\Leftrightarrow \frac{3-b}{b}\geq \frac{4b}{3-b}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (3-b)^2\geq 4b^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow b^2-6b+9\geq 4b^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3b^2+6b-9\leq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3(b-1)(b+3)\leq 0(True)[/tex]. Dấu bằng xảy ra khi [tex]b=1[/tex]
Từ đây suy ra [tex](2)[/tex] đúng [tex]\Rightarrow (1)[/tex] đúng [tex]\Rightarrow Q.E.D[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi [tex]a=b=c[/tex]