[Toán 10] Bất đẳng thức hay

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Problem 1: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Prove that:
$$ a^2+b^2+c^2 \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 $$

Problem 2: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng 1. Determine the maximun and minimun values of:
$$f(a;b;c)= (1+ab)^2+(1+bc)^2+(1+ca)^2$$

Problem 3: Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số thực dương thì
$$ \dfrac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}{8a^2b^2c^2} \ge \left ( \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \right )^2 $$

Problem 4: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $\text{min{a;b;c}} \ge \dfrac{3}{4}$ and $ab+bc+ca =3$. Prove that:
$$ a^3+b^3+c^3+9abc \ge 12 $$

Problem 5: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$$ \dfrac{a^2}{b^2+1}+\dfrac{b^2}{c^2+1}+\dfrac{c^2}{a^2+1} \ge \dfrac{3}{2}$$

Problem 6: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Prove that:
$$ ab^2+bc^2+ca^2 \le 2 +abc$$

 

[hien_vuthithanh]

5/

đã giải tại http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=390544

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: Dùng phương pháp dồn biến.

Tồn tại $t \ge 0$ thoả mãn $a^2+2t^2+at^2=4$

Từ đây ta có $bc \le t^2$ và $b^2+c^2 \ge 2t^2$

Bằng cách giả sử $a = \text{min{a;b;c}}$ ta chứng minh được $f(a;b;c) \ge f(a;t;t)$

Cuối cùng ta có $f(a;t;t)=2a(a-1)^2 \ge 0$

Vậy $f(a;b;c) \ge 0$ hay $a^2+b^2+c^2 \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2: $f(a;b;c) \ge 3$ là hiển nhiên.

Khai triển ra: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(ab+bc+ca)+3$
$=(ab+bc+ca+1)^2-2abc+2=(q+1)^2-2r+2$

Và chú ý nếu áp dụng BDT Schur ngay thì $(q+1)^2-2r+2$ sẽ thành 1 tam thức bậc 2 có hệ số bậc 2 lớn hơn 0 rất khó đánh giá về GTLN nên ta tiến hành hạ bậc.

Để ý $(q+1) \le \dfrac{4}{3}$ nên $(q+1)^2 \le \dfrac{4}{3}(q+1)$

Áp dụng BDT Schur:

$\dfrac{4}{3}q-2r \le \dfrac{4}{3}q-\dfrac{2(4q-1)}{9}=\dfrac{4}{9}q+\dfrac{2}{9} \le \dfrac{10}{27}$

Suy ra $(q+1)^2-2r+2 \le \dfrac{100}{27}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:

Dễ chứng minh: $(a^2+b^2)(a^2+c^2) \ge \left (a^2+\dfrac{(b+c)^2}{4} \right)^2$ khi giả sử $a \ge b \ge c$

Chuẩn hoá $b+c=1$ và đặt $x=bc$ và ta có $x\in \left (0; \dfrac{1}{4} \right ]$ và chú ý $2a \ge 1$

Bất đẳng thức trở thành:

$f(x)=(4a^2+1)(a+x)-16ax(a^2+1-2x) \ge 0$

$f(x)=2a(4x-1)^2-(2a-1)(8a^2+2a+1)x+a(4a^2-1) \ge -(2a-1)(8a^2+2a+1)x+a(4a^2-1) \ge a(4a^2-1)-\dfrac{1}{4}(2a-1)(8a^2+2a+1) =\dfrac{(2a-1)^2}{4} \ge 0$