H
huynhbachkhoa23
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ví dụ. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng ta luôn có:
$$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}$$
Lời giải.
Ý tưởng của ta đầu tiên là phá căn cho vế phải bằng AM-GM:
$$\dfrac{27(a^4+b^4+c^4)}{(a+b+c)^3}+3(a+b+c)\ge 12\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}$$
Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{8a^2}{b+c}+\dfrac{8b^2}{c+a}+\dfrac{8c^2}{a+b}\ge \dfrac{27(a^4+b^4+c^4)}{(a+b+c)^3}+3(a+b+c)$ tương đương với $\sum (2a-b-c)^2.\dfrac{2a^3+(b+c)^3+2a(b+c)^2}{(b+c)(a+b+c)^3}\ge 0$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Câu hỏi đặt ra là sao lại tìm ra được bất đẳng thức tương đương $\sum (2a-b-c)^2.\dfrac{2a^3+(b+c)^3+2a(b+c)^2}{(b+c)(a+b+c)^3}\ge 0$
Ở đây ta áp dụng AM-GM: $\dfrac{8a^2}{b+c}+2(b+c)\ge 8a$ nên ta xét hiệu $\dfrac{8a^2}{b+c}-8a+2(b+c)=\dfrac{(2a-b-c)^2}{b+c}$
Tương tự với vế phải ta có $\dfrac{27a^4}{(a+b+c)^3}+3.\dfrac{a+b+c}{3}\ge 4a$ nên ta xét hiệu $\dfrac{27a^4}{(a+b+c)^3}+b+c-3a=\dfrac{(2a-b-c)^2\left[6a^2+4a(b+c)+(b+c)^2\right]}{(a+b+c)^3}$
Từ đó thiết lập tương tự rồi thay vào trong bất đẳng thức là có ngay bất đẳng thức kia.
Tương tự với bài $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge \dfrac{3(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}$
Ta thấy rằng $\dfrac{a^2}{b}+b\ge 2a$ nên xét hiệu $\dfrac{a^2}{b}-2a+b=\dfrac{(a-b)^2}{b}$. Phần dư $-(a+b+c)$ ta quy đồng lên $\dfrac{3(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}-(a+b+c)=...$. Từ đó ta giải quyết bằng $S.O.S$ hoặc $Vorcuni-Schur$
Tương tự có thể giải bài toán sau: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}}$$
$$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}$$
Lời giải.
Ý tưởng của ta đầu tiên là phá căn cho vế phải bằng AM-GM:
$$\dfrac{27(a^4+b^4+c^4)}{(a+b+c)^3}+3(a+b+c)\ge 12\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}$$
Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{8a^2}{b+c}+\dfrac{8b^2}{c+a}+\dfrac{8c^2}{a+b}\ge \dfrac{27(a^4+b^4+c^4)}{(a+b+c)^3}+3(a+b+c)$ tương đương với $\sum (2a-b-c)^2.\dfrac{2a^3+(b+c)^3+2a(b+c)^2}{(b+c)(a+b+c)^3}\ge 0$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Câu hỏi đặt ra là sao lại tìm ra được bất đẳng thức tương đương $\sum (2a-b-c)^2.\dfrac{2a^3+(b+c)^3+2a(b+c)^2}{(b+c)(a+b+c)^3}\ge 0$
Ở đây ta áp dụng AM-GM: $\dfrac{8a^2}{b+c}+2(b+c)\ge 8a$ nên ta xét hiệu $\dfrac{8a^2}{b+c}-8a+2(b+c)=\dfrac{(2a-b-c)^2}{b+c}$
Tương tự với vế phải ta có $\dfrac{27a^4}{(a+b+c)^3}+3.\dfrac{a+b+c}{3}\ge 4a$ nên ta xét hiệu $\dfrac{27a^4}{(a+b+c)^3}+b+c-3a=\dfrac{(2a-b-c)^2\left[6a^2+4a(b+c)+(b+c)^2\right]}{(a+b+c)^3}$
Từ đó thiết lập tương tự rồi thay vào trong bất đẳng thức là có ngay bất đẳng thức kia.
Tương tự với bài $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge \dfrac{3(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}$
Ta thấy rằng $\dfrac{a^2}{b}+b\ge 2a$ nên xét hiệu $\dfrac{a^2}{b}-2a+b=\dfrac{(a-b)^2}{b}$. Phần dư $-(a+b+c)$ ta quy đồng lên $\dfrac{3(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}-(a+b+c)=...$. Từ đó ta giải quyết bằng $S.O.S$ hoặc $Vorcuni-Schur$
Tương tự có thể giải bài toán sau: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}}$$