[Toán 10] Bất đẳng thức & cực trị

[nhavanbecon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.$x,y,z \ge\ 0$ và $x^2+y^2+z^2$ =3. Chứng minh:
$\frac{x^3}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{y^3}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{z^3}{\sqrt{1+x^2}}\ge\ \frac{3\sqrt{2}}{2}$

2.a,b là số thực dương,tìm min của:
p= $ \frac{a^3+1}{a}+\frac{b^3+1}{b}+ab $
3.Cho 3 số thực dương a,b,c và a+b+c=1.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{bc+a}+\frac{b^3}{ca+b}+\frac{c^3}{ab+c}\ge\ \frac{1}{4}$

4.x,y,z dương,x+y+z=3.Tìm min của
P= $\frac{x^3}{y(2z+x)}+\frac{y^3}{z(2x+y)}+\frac{z^3}{x(2y+z)}$

 

[conga222222]

1.$x,y,z \ge\ 0$ và $x^2+y^2+z^2$ =3. Chứng minh:
$\frac{x^3}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{y^3}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{z^3}{\sqrt{1+x^2}}\ge\ \frac{3\sqrt{2}}{2}$

2.a,b là số thực dương,tìm min của:
p= $ \frac{a^3+1}{a}+\frac{b^3+1}{b}+ab $
3.Cho 3 số thực dương a,b,c và a+b+c=1.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{bc+a}+\frac{b^3}{ca+b}+\frac{c^3}{ab+c}\ge\ \frac{1}{4}$

4.x,y,z dương,x+y+z=3.Tìm min của
P= $\frac{x^3}{y(2z+x)}+\frac{y^3}{z(2x+y)}+\frac{z^3}{x(2y+z)}$

câu 1:
\[\begin{array}{l}
P = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{{{y^3}}}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} + \frac{{{z^3}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
co.si \to 2{x^2} + \left( {1 + {y^2}} \right) \ge 2\sqrt {2{x^2}\left( {1 + {y^2}} \right)} = 2x\sqrt {2\left( {1 + {y^2}} \right)} \to \frac{{2{x^2} + {y^2} + 1}}{{4\sqrt 2 }} \ge \frac{{x\sqrt {1 + {y^2}} }}{2}\\
\frac{{2{y^2} + {z^2} + 1}}{{4\sqrt 2 }} \ge \frac{{y\sqrt {\left( {1 + {z^2}} \right)} }}{2}\\
\frac{{2{z^2} + {x^2} + 1}}{{4\sqrt 2 }} \ge \frac{{z\sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)} }}{2}\\
\to \frac{{3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{12}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }} \ge \frac{{x\sqrt {1 + {y^2}} }}{2} + \frac{{y\sqrt {1 + {z^2}} }}{2} + \frac{{z\sqrt {1 + {x^2}} }}{2}\\
\to P + \frac{3}{{\sqrt 2 }} \ge \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{{x\sqrt {1 + {y^2}} }}{2} + \frac{{{y^3}}}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} + \frac{{y\sqrt {1 + {z^2}} }}{2} + \frac{{{z^3}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{{z\sqrt {1 + {x^2}} }}{2}\\
co.si \to \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{{x\sqrt {1 + {y^2}} }}{2} \ge \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {x^2}\\
\frac{{{y^3}}}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} + \frac{{y\sqrt {1 + {z^2}} }}{2} \ge \sqrt 2 {y^2}\\
\frac{{{z^3}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{{z\sqrt {1 + {x^2}} }}{2} \ge \sqrt 2 {z^2}\\
\to P + \frac{3}{{\sqrt 2 }} \ge \sqrt 2 \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 3\sqrt 2 \\
\to P \ge \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\\
dau = \leftrightarrow a = b = c
\end{array}\]

 

[uchiha_172]

1.$x,y,z \ge\ 0$ và $x^2+y^2+z^2$ =3. Chứng minh:
$\frac{x^3}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{y^3}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{z^3}{\sqrt{1+x^2}}\ge\ \frac{3\sqrt{2}}{2}$

2.a,b là số thực dương,tìm min của:
p= $ \frac{a^3+1}{a}+\frac{b^3+1}{b}+ab $
3.Cho 3 số thực dương a,b,c và a+b+c=1.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{bc+a}+\frac{b^3}{ca+b}+\frac{c^3}{ab+c}\ge\ \frac{1}{4}$

4.x,y,z dương,x+y+z=3.Tìm min của
P= $\frac{x^3}{y(2z+x)}+\frac{y^3}{z(2x+y)}+\frac{z^3}{x(2y+z)}$

Câu 4:
Theo BDT cô si ta có:
[TEX]\frac{x^3}{2yz+xy}+\frac{2yz+xy}{9}+\frac{1}{3} \geq x[/TEX]

[TEX]\frac{y^3}{2xz+yz}+\frac{2xz+yz}{9}+\frac{1}{3} \geq y[/TEX]

[TEX] \frac{z^3}{2xy+xz}+\frac{2xy+xz}{9}+\frac{1}{3} \geq z[/TEX]

Cộng từng vế ta có:

[TEX]VT+1+\frac{xy+yz+zx}{3} \geq x+y+z=3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \geq 2-\frac{xy+yz+zx}{3} \geq 2-\frac{(x+y+z)^2}{9}=2-1=1[/TEX]

Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y=z[/TEX]

 

[vy000]

Câu 2:
$\dfrac{a^3+1}a + \dfrac{b^3+1}b+ab = b^2+a^2+ab+3\dfrac1{3a}+3\dfrac1{3b} \ge 9\sqrt[9]{\dfrac1{3^6}}$


Câu 3:
$\sum \dfrac{a^3}{bc+a} + \sum\dfrac{3(bc+a)}{16}+\dfrac{3}{12} \ge \sum 3\sqrt[3]{\dfrac{a^3(bc+a)3}{16.12(bc+a)}} = \sum \dfrac34a = \dfrac34$

Lại có: $\sum\dfrac{3(bc+a)}{16} = \sum a\dfrac3{16} + \sum \dfrac{3bc}{16} \le \dfrac3{16}+\dfrac{(a+b+c)^3}{16}=\dfrac14$

....