mọi người chứng minh hộ em bất đẳng thức côsi với 4 số không âm, và với n số không âm với nhé
Chứng minh luôn tổng quát nhé
_trước tiên ta có bất đẳng thức gốc là
[TEX]x_1+x_2 \geq 2\sqrt{x_1x_2}[/TEX] ( với các số dương)
đây là bdt cô si 2 số nó hiển nhiên đúng
vì bdt [TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x1}-\sqrt{x_2})^2 \geq 0[/TEX]
_Giải quyết với 4 số:
[TEX]x_1+x_2+x_3+x_4=(x_1+x_2)+(x_3+x_4) \geq 2\sqrt{x_1x_2}+2\sqrt{x_3x_4} \geq 4 \sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}[/TEX]
( cô si 2 lần liên tiếp)
_Giải quyết với n số
[TEX]n=2[/TEX] thì bdt đúng
nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số .
Chứng minh đơn giản vì
[TEX]x_1+x_2+...+x_{2n} \geq n\sqrt[n]{x_1x_2..x_n}+n\sqrt[n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}
\geq 2n \sqrt[2n]{x_1x_2...x_{2n}}[/TEX]
theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.
Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta chứng minh được nó cũng đúng với [TEX]n-1[/TEX] số như sau
theo bdt cô si n số
[TEX]x_1+x_2+...+x_n \geq n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}[/TEX]
chọn
[TEX]x_n=\frac{s}{n-1},s=x_1+x_2+...+x_{n-1}[/TEX]
thì thay vào ta được
[TEX]s+\frac{s}{n-1} \geq n\sqrt[n]{\frac{x_1x_2..x_{n-1}.s}{n-1}}[/TEX]
[TEX] ->s \geq (n-1)\sqrt[n-1]{x_1x_2...x_{n-1}}[/TEX]
Đây chính là bdt cô si [TEX](n-1)[/TEX] số.
như vậy ta có dpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
