[Toán 10] Bất Đẳng Thức cổ điển

V

viethoang1999

H

huynhbachkhoa23

Bài 1:

Đặt $(x;y;z)=(a^2;b^2;c^2)$

Cần chứng minh:

$(x+y)(y+z)(z+x)(x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2 \sqrt{zx}) \ge 8(xy+yz+zx)^2$

$(x+y)(y+z)(z+x)(x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2 \sqrt{zx}) \ge (x+y)(y+z)(z+x)\left (x+y+z+\dfrac{4xy}{x+y}+\dfrac{4yz}{y+z}+\dfrac{4zx}{z+x} \right)$
$=(x+y+z)(x+y)(y+z)(z+x)+4xy(y+z)(z+x)+4yz(z+x)(x+y)+4zx(x+y)(y+z)$

$(x+y+z)(x+y)(y+z)(z+x)+4xy(y+z)(z+x)+4yz(z+x)(x+y)+4zx(x+y)(y+z)-8(xy+yz+zx)^2$
$=xy(x-y)^2+yz(y-z)^2+zx(z-x)^2 \ge 0$

Hoàn tât chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ hoặc $a=b\to 0; c\to 1$ và các hoán vị.
 
H

huynhbachkhoa23

huynhbachkhoa23 said:
Bài 1:

Đặt $(x;y;z)=(a^2;b^2;c^2)$

Cần chứng minh:

$(x+y)(y+z)(z+x)(x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2 \sqrt{zx}) \ge 8(xy+yz+zx)^2$

$(x+y)(y+z)(z+x)(x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2 \sqrt{zx}) \ge (x+y)(y+z)(z+x)\left (x+y+z+\dfrac{4xy}{x+y}+\dfrac{4yz}{y+z}+\dfrac{4zx}{z+x} \right)$
$=(x+y+z)(x+y)(y+z)(z+x)+4xy(y+z)(z+x)+4yz(z+x)(x+y)+4zx(x+y)(y+z)$

$(x+y+z)(x+y)(y+z)(z+x)+4xy(y+z)(z+x)+4yz(z+x)(x+y)+4zx(x+y)(y+z)-8(xy+yz+zx)^2$
$=xy(x-y)^2+yz(y-z)^2+zx(z-x)^2 \ge 0$

Hoàn tât chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ hoặc $a=b\to 0; c\to 1$ và các hoán vị.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


$2t^2(t^2+a^2)^2(a+2t)^2 \ge 8(t^4+2a^2t^2)^2$
$\leftrightarrow at(a-t)^2 \ge 0$ ($t\ge 0$)
Giả sử $a\le b\le c$
Dễ thấy luôn tồn tại $t\ge 0$ thoả mãn $t^4+2a^2t^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
$\leftrightarrow (t^2+a^2)^2 = (a^2+b^2)(a^2+c^2)$

Vì vậy ta cần chứng minh: $(b^2+c^2)(a+b+c)^2 \ge 2t^2(a+2t)^2$

Từ giả thiết ta có $(t^2-bc)(t^2+bc)=a^2(b^2+c^2-2t^2)$

Giả sử $t^2<bc \leftrightarrow 2t^2>b^2+c^2 > 2bc \rightarrow bc>t^2$ mâu thuẫn với giả sử.
Từ đây ta có $b^2+c^2 \ge 2t^2$

$b+c-2t=\dfrac{b^2+c^2-2t^2-2(t^2-bc)}{b+c+2t}=\dfrac{(t^2-bc)\left [\dfrac{t^2+bc}{a^2}-2 \right]}{b+c+2t}$

Dễ thấy $a^2\le bc\le t^2 \rightarrow b+c\ge 2t$

Hoàn tất chứng minh.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom