[Toán 10] Bất đẳng thức Chebysev

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giả sử $a_1,a_2,...a_n$ và $b_1,b_2,....b_n$ thỏa mãn :
$a_1>\frac{a_1+a_2}{2}>.....>\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$
$b_1>\frac{b_1+b_2}{2}>.....>\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}$
Chứng minh : $n(a_1b_1+a_2b_2+...+b_na_n)$ \geq $(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+..+b_n)$

 

[braga]

Bằng cách phân tích trực tiếp, ta có:
$$n(a_1b_1+a_2b_2+.....+a_nb_n)-(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+....+b_n)=\sum^n_{i;j=1}(a_i-a_j)(b_i-b_j)\ge 0$$
Vì các dãy $a_1;a_2:...;a_n$ và $b_1;b_2;.....;b_n$ đơn điệu nên $(a_i-a_j)(b_i-b_j)\ge 0$
Nếu 2 dãy $a_1;a_2:...;a_n$ và $b_1;b_2;.....;b_n$ đơn điệu ngược chiều thì BĐT đổi chiều, chứng minh tương tự.