[Toán 10] Bất đẳng thức Cauchy

[hoang_tu_thien_than198]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c =3
CMR:

[TEX]a) \frac{a^3}{(a+b)(a+c)} + \frac{a^3}{(b+c)(a+b)} + \frac{c^3}{(c+a)(c+b)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

[TEX]b) \frac{a^3}{b(2c + a)} + \frac{b^3}{c(2a + b)} + \frac{c^3}{a(2b + c)} \geq 1[/TEX]

2) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa điều kiện:

[TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX] CMR:

[TEX]\frac{a^3}{b + 2c} + \frac{b^3}{c + 2a} + \frac{c^3}{a + 2b} \geq[/tex][tex]\frac{1}{3}[/TEX]

3) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa ab +bc + ca = 1
CMR:

[TEX]\frac{a}{\sqrt{(1 + a^2)}} + \frac{b}{\sqrt{(1+ b^2)}} + \frac{c}{\sqrt{(1+a^2)}} \leq \frac{3}{2}[/TEX]

4) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+ b + c = 2
Tìm GTLN của:

[TEX]S = \frac{ab}{\sqrt{2c + ab)}[/tex] [tex]+ \frac{bc}{\sqrt{(2a+ bc)}}[/tex] [tex]+ \frac{ac}{\sqrt{(2b + ac)}}[/tex]

 

[asroma11235]

1)Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c =3
CMR:

[TEX]a) \frac{a^3}{(a+b)(a+c)} + \frac{a^3}{(b+c)(a+b)} + \frac{c^3}{(c+a)(c+b)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

[TEX]b) \frac{a^3}{b(2c + a)} + \frac{b^3}{c(2a + b)} + \frac{c^3}{a(2b + c)} \geq 1[/TEX]

2) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa điều kiện:

[TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX] CMR:

[TEX]\frac{a^3}{b + 2c} + \frac{b^3}{c + 2a} + \frac{c^3}{a + 2b} \geq[/tex][tex]\frac{1}{3}[/TEX]

1/. a) [TEX]\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+ \frac{a+b}{8}+ \frac{a+c}{8} \geq \frac{3}{4}a[/TEX]
Muộn mất rồi =((

 

[rungtrucxanhsk01]

1)Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c =3
CMR:

[TEX]a) \frac{a^3}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^3}{(b+c)(a+b)} + \frac{c^3}{(c+a)(c+b)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

[TEX]b) \frac{a^3}{b(2c + a)} + \frac{b^3}{c(2a + b)} + \frac{c^3}{a(2b + c)} \geq 1[/TEX]

2) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa điều kiện:

[TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX] CMR:

[TEX]\frac{a^3}{b + 2c} + \frac{b^3}{c + 2a} + \frac{c^3}{a + 2b} \geq[/tex][tex]\frac{1}{3}[/TEX]

1a.Ta có :
[TEX]\frac{a^3}{(a+b)(a+c)} + \frac{a+b}{8} + \frac{a+c}{8} \geq \frac{3a}{4}[/TEX]
[TEX]\frac{b^3}{(b+c)(a+b)} + \frac{b+c}{8} + \frac{b+a}{8} \geq \frac{3b}{4}[/TEX]
[TEX]\frac{c^3}{(c+a)(c+b)} + \frac{b+c}{8} + \frac{c+a}{8} \geq \frac{3c}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] VT +[TEX] \frac{a+b+c}{2} \geq \frac{3(a+b+c)}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm
b/Tương tự
2.
[TEX]\frac{a^3}{b + 2c} + \frac{b^3}{c + 2a} + \frac{c^3}{a + 2b}[/TEX]
[TEX]= \frac{a^4}{a(b + 2c)} + \frac{b^4}{b(c + 2a)} + \frac{c^4}{c(a + 2b)}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ac)} [/TEX]
[TEX]\geq 1 [/TEX]