[toán 10]Bài toán rất hay đây

P

pokoemon93

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Chứng minh rằng [tex](a+b-c-1)(b+c-a-1)(a+c-b-1)\leq 8[/tex]
trong đó a,b,c là các số thoả mãn điều kiện:
ab+bc+ca=abc
2.cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc=1.Chứng minh rằng:
[tex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a+b+c-1) [/tex]
3.cho các số dương a,b,c.Chứng minh rằng
[tex](a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)[/tex]
 
Q

quang1234554321

pokoemon93 said:
2.cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc=1.Chứng minh rằng:
[tex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a+b+c-1) [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Lời giải :

Sử dụng phương pháp dồn biến :

ta phải CM : [TEX] f(a,b,c) = ab(a+b)+ bc(b+c) +ca(c+a) - 4(a+b+c) + 6 \geq 0[/TEX]

Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a \geq b \geq c [/TEX] . Xét :

[TEX]f(a,b,c) - f(a,\sqrt[]{bc},\sqrt[]{bc})= (a^2+bc)(b+c- 2\sqrt[]{bc}) + a(b^2+c^2-2bc)-4(b+c-2\sqrt[]{bc})[/TEX]

[TEX]= (\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c})^2[a^2+bc-4+a(\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c})^2][/TEX]

[TEX]= (\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c})^2[(a+b)(a+c) +2\sqrt[]{a} -4 ][/TEX]

Do [TEX](a+b)(a+c) \geq 4\sqrt[4]{a^2bc} \geq 4[/TEX] với [TEX]a \geq 1[/TEX] nên

[TEX]f(a,b,c) \geq f(a,\sqrt[]{bc},\sqrt[]{bc})[/TEX]

Vậy ta chỉ cần CM bài toán khi [TEX]b=c[/TEX] , tức là với [TEX]b^2= \frac{1}{a}[/TEX] thì
[TEX]b(a+b)^2 \geq 2(a+2b-1)[/TEX]

Thay [TEX]a= \frac{1}{b^2}[/TEX] vào BDT trên ta được :

[TEX](b^3+1)^2 \geq 2(b+2b^4-b^3) \Rightarrow b^6 -4b^4+4b^3-2b+1 \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (b-1)^2(b^4+2b^3-b^2+1) \geq (b-1)^2[(b^2-1)^2 +2b^3+b^2 ) \geq 0[/TEX]

BDT trên hiển nhiên đúng và đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

Vậy ta có ĐPCM
 
P

pokoemon93

quang1234554321 said:
Lời giải :

Sử dụng phương pháp dồn biến :

ta phải CM : [TEX] f(a,b,c) = ab(a+b)+ bc(b+c) +ca(c+a) - 4(a+b+c) + 6 \geq 0[/TEX]

Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a \geq b \geq c [/TEX] . Xét :

[TEX]f(a,b,c) - f(a,\sqrt[]{bc},\sqrt[]{bc})= (a^2+bc)(b+c- 2\sqrt[]{bc}) + a(b^2+c^2-2bc)-4(b+c-2\sqrt[]{bc})[/TEX]

[TEX]= (\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c})^2[a^2+bc-4+a(\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c})^2][/TEX]

[TEX]= (\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c})^2[(a+b)(a+c) +2\sqrt[]{a} -4 ][/TEX]

Do [TEX](a+b)(a+c) \geq 4\sqrt[4]{a^2bc} \geq 4[/TEX] với [TEX]a \geq 1[/TEX] nên

[TEX]f(a,b,c) \geq f(a,\sqrt[]{bc},\sqrt[]{bc})[/TEX]

Vậy ta chỉ cần CM bài toán khi [TEX]b=c[/TEX] , tức là với [TEX]b^2= \frac{1}{a}[/TEX] thì
[TEX]b(a+b)^2 \geq 2(a+2b-1)[/TEX]

Thay [TEX]a= \frac{1}{b^2}[/TEX] vào BDT trên ta được :

[TEX](b^3+1)^2 \geq 2(b+2b^4-b^3) \Rightarrow b^6 -4b^4+4b^3-2b+1 \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (b-1)^2(b^4+2b^3-b^2+1) \geq (b-1)^2[(b^2-1)^2 +2b^3+b^2 ) \geq 0[/TEX]

BDT trên hiển nhiên đúng và đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

Vậy ta có ĐPCM
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Em chưa học cái này anh ơi.Anh dùng cách khác được không anh ơi?
 
A

andehoc_n

quang1234554321 said:
Lời giải :

Sử dụng phương pháp dồn biến :

ta phải CM : [TEX] f(a,b,c) = ab(a+b)+ bc(b+c) +ca(c+a) - 4(a+b+c) + 6 \geq 0[/TEX]

Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a \geq b \geq c [/TEX] . Xét :

[TEX]f(a,b,c) - f(a,\sqrt[]{bc},\sqrt[]{bc})= (a^2+bc)(b+c- 2\sqrt[]{bc}) + a(b^2+c^2-2bc)-4(b+c-2\sqrt[]{bc})[/TEX]

[TEX]= (\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c})^2[a^2+bc-4+a(\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c})^2][/TEX]

[TEX]= (\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c})^2[(a+b)(a+c) +2\sqrt[]{a} -4 ][/TEX]

Do [TEX](a+b)(a+c) \geq 4\sqrt[4]{a^2bc} \geq 4[/TEX] với [TEX]a \geq 1[/TEX] nên

[TEX]f(a,b,c) \geq f(a,\sqrt[]{bc},\sqrt[]{bc})[/TEX]

Vậy ta chỉ cần CM bài toán khi [TEX]b=c[/TEX] , tức là với [TEX]b^2= \frac{1}{a}[/TEX] thì
[TEX]b(a+b)^2 \geq 2(a+2b-1)[/TEX]

Thay [TEX]a= \frac{1}{b^2}[/TEX] vào BDT trên ta được :

[TEX](b^3+1)^2 \geq 2(b+2b^4-b^3) \Rightarrow b^6 -4b^4+4b^3-2b+1 \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (b-1)^2(b^4+2b^3-b^2+1) \geq (b-1)^2[(b^2-1)^2 +2b^3+b^2 ) \geq 0[/TEX]

BDT trên hiển nhiên đúng và đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

Vậy ta có ĐPCM
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

tui ko biết cách bạn làm sao lạ vậy có thể nói kinh nghiệm làm được ko
tiện thể có bài hỏi luôn cho a,b,c dương và a+b+c=3
tìm maxP cho P=a/(a+b)+b(b+c)+c/(c+a) làm hộ tui cái loại này tui ko biết thank nhe
 
Last edited by a moderator:
P

pokoemon93

Không ai làm câu 1 à
Câu 2 làm như thế này nha bạn [tex](a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc[/tex]
ta CM rằng:[tex](a+b+c)(ab+bc+ca)-1\geq4(a+b+c-1)[/tex]
[tex]\leftrightarrow(a+b+c)(ab+bc+ca)+3\geq4(a+b+c)[/tex]
Chứng minh BDT đó đúng là ra thui.
 
Q

quang1234554321

andehoc_n said:
tui ko biết cách bạn làm sao lạ vậy có thể nói kinh nghiệm làm được ko
tiện thể có bài hỏi luôn cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
tìm maxP cho [TEX]P=a/(a+b)+b(b+c)+c/(c+a)[/TEX] làm hộ tui cái loại này tui ko biết thank nhe
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Trong 1 số bài BDT và cực trị . Đã xuất hiện các sai lầm . Và dưới đây là một sai lầm trong số đó .

Các bạn hãy chỉ ra chỗ sai và từ đó rút kinh nghiệm nhé

Ta có : [TEX]\sum \frac{2a}{a+b} + \sum \frac{a(a+b)}{2} \geq \sum 2a = 2(a+b+c)=6[/TEX]

[TEX] \Rightarrow 2P + \frac{1}{2}( a^2+b^2+c^2 + ab+bc+ca ) \geq 6[/TEX]

Mặt khác :

[TEX]2(a^2+b^2+c^2 + ab+bc+ca) =a^2+b^2+c^2 + (a+b+c)^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} + (a+b+c)^2 = 12[/TEX]

Hay [TEX]\frac{1}{2}( a^2+b^2+c^2 + ab+bc+ca ) \geq \frac{12}{4} =3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow P \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX] . Khi đó P đạt min tại [TEX]Pmin = \frac{3}{2}[/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom