Cho tam giác ABC, c/m rằng:
$ tan{\frac{A}{2}} + tan{\frac{B}{2}} + tan{\frac{C}{2}} = \frac{r+4R}{p} $
Sáng nay rảnh tẹo , ngồi lục thấy bài này , tồn kho 1 tuần rồi cơ @-) Làm xong bài này gần chít 
)
Thoạt tiên , em chứng minh các công thức này nhé : |-)
$r=(p-a)tan{\frac{A}{2}}=(p-b)tan{\frac{B}{2}}=(p-c)tan{\frac{C}{2}}$
==> Vế trái đề bài là :
$tan{\frac{A}{2}}+tan{\frac{B}{2}}+tan{\frac{C}{2}}$
$=\frac{r}{p-a}+\frac{r}{p-b}+\frac{r}{p-c}$
$=\frac{r[(p-a)(p-b)+(p-b)(p-c)+(p-c)(p-a)]}{(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{r.M}{N} \ (1)$
với M,N là các biểu thức tương ứng .
Công thức Hê-rông : $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
==> $N=(p-a)(p-b)(p-c)=\frac{S^2}{p}$
==> $\frac{r.M}{N}=\frac{r.M}{\frac{S^2}{p}}=\frac{r.p.M}{S^2}=\frac{M}{S}$
(do $S=pr$) |-)
Vế phải đề bài :
$\frac{r+4R}{p}=\frac{r^2+4rR}{pr}=\frac{r^2+4rR}{S}$
Nghĩa là , ta chứng minh $M=r^2+4rR$ là ổn |-)
$M=(p-a)(p-b)+(p-b)(p-c)+(p-c)(p-a)=3p^2-2p(a+b+c)+(ab+bc+ca)$
(do khai triển)
Ta chứng minh $ab+bc+ca=p^2+r^2+4rR \ (2)$ :
Thực vậy , $S=\frac{abc}{4R}=pr$
==> $4rR=\frac{abc}{p}$
và $p.r^2=\frac{S^2}{p}=(p-a)(p-b)(p-c)$
Thì $p(ab+bc+ca)=p^3+(p-a)(p-b)(p-c)+abc ==> \ (2)$
Vậy : $3p^2-2p(a+b+c)+(ab+bc+ca)=r^2+4rR$
<=> $3p^2-2p(a+b+c)=-p^2$
<=> $4p^2=2p(a+b+c)$
(đúng do $p=\frac{a+b+c}{2}$)
Bài toán chứng minh xong |-) :-h
Last edited by a moderator:
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn