[Toán 10] Bài tập

[kga]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Có mấy bài nhé! Mong là không bị trùng.
1. Cho hàm số: f(x) = [tex]\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}[/tex] . Hãy tìm [TEX]f_n(x) [/TEX] biết : [TEX]f_1 (x) = f(x); f_n (x) = f ( f _ n -_1(x) ) [/TEX] với n= 2,3,. . .

2. Tìm hàm số f(x) biết : f([tex]\frac{3x-2}{x - 1}[/tex] = x + 2. Với mọi n khác 1

3. Tìm hàm f(x) biết f [tex]( x - \frac{1}{x} )= x^3 - \frac{1}{x^3}[/tex]. Với mọi n khác 0

 

[tuyn]

1. Cho hàm số: f(x) = [tex]\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}[/tex] . Hãy tìm [TEX]f_n(x) [/TEX] biết : [TEX]f_1 (x) = f(x); f_n (x) = f ( f _{ n -1}(x) ) [/TEX] với n= 2,3,. . .

[TEX]f_2(x)=f(f_1(x))= \frac{x}{ \sqrt{1+2x^2}}[/TEX]
[TEX]f_3(x)= \frac{x}{ \sqrt{1+3x^2}}[/TEX]
[TEX]....[/TEX]
Dự đoán:
[TEX]f_n(x)= \frac{x}{ \sqrt{1+nx^2}}(*)[/TEX]
Thật vậy: Ta sẽ chứng minh = PP quy nạp
-Với n=1 thì ( * ) đúng (theo giả thiết)
-Giả sử ( * ) đúng với n=k tức là:
[TEX]f_k(x)= \frac{x}{ \sqrt{1+kx^2}}[/TEX]
Ta CM ( * ) đúng với n=k+1.Thật vậy:
[TEX]f_{k+1}(x)=f(f_k(x))= \frac{x}{ \sqrt{1+(k+1)x^2}} (TRUE)[/TEX]

2. Tìm hàm số f(x) biết : f([tex]\frac{3x-2}{x - 1}[/tex] = x + 2. Với mọi n khác 1

Đặt [TEX]t= \frac{3x-2}{x-1} \Rightarrow x= \frac{t-2}{t+3}( t \neq 3)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(t)= \frac{3t+4}{t+3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(x)= \frac{3x+4}{x+3}[/TEX]
Thử lại thấy thỏa mãn

3. Tìm hàm f(x) biết f [tex]( x - \frac{1}{x} )= x^3 - \frac{1}{x^3}[/tex]. Với mọi n khác 0

Đặt [TEX]t=x- \frac{1}{x} \Rightarrow t^3=x^3- \frac{1}{x^3}-3(x- \frac{1}{x})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3- \frac{1}{x^3}=t^3+3t[/TEX]
[TEX]f(t)=t^3+3t[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(x)=x^3+3x[/TEX]
Thử lại thấy thỏa mãn bài toán