[Toán 10] Bài tập về Véc tơ

[thaonguyen25]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho tam giác ABC. Gọi A' là điểm đối xứng với B qua A, B' là điểm đối xứng với C qua B, C' là điểm đối xứng với A qua C. CMR với mọi điểm O ta có :

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'}$

2. Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho :
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} -\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MD}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Điều cần chứng minh tương đương với việc $ABC$ và $A'B'C'$ có cùng trọng tâm.
Đến đây mình xin giải bài này bằng kiến thức lớp 8.
Cách 1. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Xét $M$ là trung điểm $AB$, khi đó $\dfrac{MG}{MC}=\dfrac{MB}{MA'}=\dfrac{1}{3}$ nên $GB||CA'$
Từ đây suy ra $S_{GA'B}=S_{GBC}=S_{GCB'}$. Do đó $S_{GA'B'}=S_{GBC}+2S_{ABC}$
Tương tự ta được: $S_{GB'C'}=S_{GAC}+2S_{ABC}$ và $S_{SC'A'}=S_{GAB}+2S_{ABC}$
Mà $S_{GAB}=S_{GBC}=S_{GCA}$ nên $S_{GA'B'}=S_{GB'C'}=S_{GC'A'}$. Đẳng thức này cho thấy $G$ cũng là trọng tâm của tam giác $A'B'C'$ nên ta có điều phải chứng minh.
Cách 2. Giả sử $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Giả sử $C''$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $2AC''=CC''$ và và $M$ là trung điểm của $A'B'$
Dễ thấy $GC''||AB$ nên $GC''||CM$. Ta có $\dfrac{GC''}{CM}=\dfrac{2GC''}{AB}=\dfrac{2}{3}= \dfrac{C'C''}{C'C}$
Điều này cho thấy $C', G,M$ thẳng hàng và $\dfrac{C'G}{C'M}=\dfrac{2}{3}$. Vậy $G$ là trọng tâm tam giác $A'B'C'$