[Toán 10] Bài tập về hệ thức lượng - cần giúp đỡ

[congratulation11]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp mình bài này với:
Cho $\Delta ABC$, CMR: $cotA = 2(cot B+cotC)$ là điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau.

 

[pe_lun_hp]

Theo cosin ta có :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cosa$

$\Leftrightarrow a^2 = b^2 + c^2 - 4S.cota$

Theo đề bài :

$cotA = 2(cotB + cotC)$

$\Leftrightarrow \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{4S} = 2\left( \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{4S} + \dfrac{a^2 + b^2 -c^2}{4S} \right)$

$\Leftrightarrow b^2 + c^2 = 5a^2 \ \ \ \ (1)$

Mặt khác cần CM $BM \bot CN$ ( Với BM,BN là đường trung tuyến của $\Delta{ABC}$ có trọng tâm G )

Vì $BM \bot CN$ nên :

$BG^2 + GC^2 = BC^2$

Áp dụng CT tính đường trung tuyến thay vào bt sẽ ra đc CT (1) -> đpcm