Toán [Toán 10] Bài tập về bất đẳng thức

[doanpham@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.với a,b,c>0.CMR:
[tex]\frac{a}{a+b}[/tex] +[tex]\frac{b}{b+c}[/tex] +[tex]\frac{c}{c+a}[/tex] [tex]<2[/tex]
2.CMR:[tex]\frac{a^2}{b^2+c^2}[/tex]+[tex]\frac{b^2}{a^2+c^2}[/tex]+[tex]\frac{c^2}{a^2+b^2}[/tex] [tex]\geq[/tex] [tex]\frac{a}{b+c}[/tex]+[tex]\frac{b}{a+c}[/tex]+[tex]\frac{c}{a+b}[/tex]
3.a,b,c>0.CMR:
[tex]\frac{1}{a^2+bc}[/tex] +[tex]\frac{1}{b^2+ac}[/tex] +[tex]\frac{1}{c^2+ab}[/tex] [tex]\leq[/tex] [tex]\frac{a+b+c}{2abc}[/tex]
4.a,b,c>0.CMR:
[tex]\sqrt{a+2b}+\sqrt{a+2c}\leq 2\sqrt{a+b+c}[/tex]

 

[Ann Lee]

1.với a,b,c>0.CMR:
[tex]\frac{a}{a+b}[/tex] +[tex]\frac{b}{b+c}[/tex] +[tex]\frac{c}{c+a}[/tex] [tex]<2[/tex]
2.CMR:[tex]\frac{a^2}{b^2+c^2}[/tex]+[tex]\frac{b^2}{a^2+c^2}[/tex]+[tex]\frac{c^2}{a^2+b^2}[/tex] [tex]\geq[/tex] [tex]\frac{a}{b+c}[/tex]+[tex]\frac{b}{a+c}[/tex]+[tex]\frac{c}{a+b}[/tex]
3.a,b,c>0.CMR:
[tex]\frac{1}{a^2+bc}[/tex] +[tex]\frac{1}{b^2+ac}[/tex] +[tex]\frac{1}{c^2+ab}[/tex] [tex]\leq[/tex] [tex]\frac{a+b+c}{2abc}[/tex]
4.a,b,c>0.CMR:
[tex]\sqrt{a+2b}+\sqrt{a+2c}\leq 2\sqrt{a+b+c}[/tex]

1.[tex]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2(dpcm)[/tex]
3. Bổ đề: với a,b,c >0 thì [tex]a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}[/tex] (chứng minh bằng BĐT Cauchy hoặc biến đổi tương đương)
$\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}$
$\leq \frac{1}{2\sqrt{a^{2}bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^{2}ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^{2}ab}}$ (BĐT Cauchy)
$=\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}$
$=\frac{\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab}}{2abc}$
$\leq \frac{a+b+c}{2abc}(dpcm)$
4. Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có: [tex](\sqrt{a+2b}+\sqrt{a+2c})^{2}\leq [(a+2b)+(a+2c)](1^{2}+1^{2})[/tex]
=> đpcm