[Toán 10] Bài tập về áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

[naruto_evil]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. CMR "nếu $p>3$ là số nguyên tố thì $p^2-1 \vdots 24$"
2. CMR $ \forall n, n^3 \vdots 3$ thì $n \vdots 3$
3. CMR nếu phương trình bậc 2:
$ax^2+bx+c=0$ vô nghiệm thì a và c cùng dấu ( a khác 0)
4. Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR nếu $ a^2+b^2>5c^2$ thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất
5. Cho a, b, c là các số dương nhỏ hơn 1. CMR ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức sau là sai:
$a(1-b)>\frac14$
$b(1-c)>\frac14$
$c(1-a)>\frac14$
6. CMR một tam giác có đường trung tuyến vừa là phân giác xuất phát từ 1 đỉnh là tam giác cân (yêu cầu chứng minh phản chứng)

 

[nguyenbahiep1]

3. CMR nếu phương trình bậc 2:
$ax^2+bx+c=0$ vô nghiệm thì a và c cùng dấu ( a khác 0)

Phản chứng

nếu pt bậc 2 : $ax^2+bx+c=0$ vô nghiệm thì a và c trái dấu ( a khác 0)

$\Delta = b^2 - 4ac \\ \\ b^2 \geq 0 , ac < 0 \Rightarrow b^2 - ac \geq 0 $

vậy pt luôn có nghiệm trái với đề bài nên dẫn đến đpcm

 

[nguyentruc2000]

5) Giả sử cả ba bất đẳng thức (1), (2), (3) đều đúng, Khi đó, nhân theo vế của (1) , (2), (3) ta được :
a(1 – b). b(1 – c) .c(1 – a) >$\frac{1}{4 }.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}=\frac{1}{64}$

Hay : a(1 – a). b(1 – b) .c(1 – c) > $\frac{1}{64}$ (*)

Ta có : a(1 – a) = $- a^2 $+ a =$\frac{1}{4}$-(a-$\frac{1}{2})^2$\leq\$frac{1}{4}$

Do : 0 < a < 1 \Rightarrow 0< a(1 – a) \leq $\frac{1}{4} $ (4)

Tương tự : 0< b(1 – b) \leq $\frac{1}{4} $ (5)

0< c(1 – c ) \leq $\frac{1}{4} $ (6)
Nhân theo vế (4), (5), (6) ta được :

a(1 – a). b(1 – b) .c(1 – c) \leq $\frac{1}{64}$ (**)

Bất đẳng thức (**) mâu thuẫn (*), do đó cả ba bất đẳng thức (1), (2), (3) không thể đồng

thời đúng. Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức này là sai. (đpcm)
----------------------------------------***-----------------------------------------------------
ღCon Tim Này Không Cần Ai Thương Hại , Đôi Chân Này Thừa Sức Tự Đứng Lênღ