Toán [Toán 10] Bài tập học sinh giỏi khó

[Kent Kazaki]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Tìm nghiệm nguyên dương của pt :
[tex]2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}[/tex]
2/ Giải hệ pt sau :
[tex]\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+y}+x-y=2 & \\\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5 & \end{matrix}\right.[/tex]
3/ Giải pt :
[tex]3(\sqrt{2x^{2}+x}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^{2}+1})[/tex]
Gợi ý : giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Chân thành cảm ơn các bạn

 

[Mark Urich]

1/ Tìm nghiệm nguyên dương của pt :
[tex]2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}[/tex]
2/ Giải hệ pt sau :
[tex]\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+y}+x-y=2 & \\\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5 & \end{matrix}\right.[/tex]
3/ Giải pt :
[tex]3(\sqrt{2x^{2}+x}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^{2}+1})[/tex]
Gợi ý : giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Chân thành cảm ơn các bạn

bài 2 nhé.
có thể kiểm tra x = 0 thì hệ vô nghiệm. nên ta xét x khác 0.
từ pt 2 nhân liên hợp có:
[tex]x = \sqrt{7x+y} - \sqrt{2x+y}[/tex]
[tex]\sqrt{7x+y} = x + \sqrt{2x+y}[/tex]
suy ra: (bình phương lên)
[tex]x^{2} - 5x + 2x.\sqrt{2x+y} = 0[/tex]
vì x khác 0 nên suy ra:
[tex]\sqrt{2x+y} = \frac{5-x}{2}[/tex]
cung suy ra: x <= 5
thay vào pt 1 của hệ ta suy ra:
x = 2y - 1
thay lại vào pt trên và biến đổi suy ra pt bậc 2: [tex]y^{2} - 11y + 11 = 0[/tex]
ta lấy nghiệm cặp nghiệm: [tex](x,y) = (10-\sqrt{77}, \frac{11-\sqrt{77}}{2})[/tex] để thỏa mãn x <= 5.
ta cần kiểm tra lại xem nghiệm trên có phải là nghiệm của hệ đã cho ko.
thay vào và kiểm tra ta thấy thỏa mãn.
vậy đó là nghiệm duy nhất của hệ.

 

[Kent Kazaki]

Sorry. Bài 3 là pt sau
[tex]3(\sqrt{2x^2+1}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^2+1})[/tex]
Mk viết sai đề ạ @@

 

[Bonechimte]

Sorry. Bài 3 là pt sau
[tex]3(\sqrt{2x^2+1}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^2+1})[/tex]
Mk viết sai đề ạ @@

$\Leftrightarrow 3x^{2}+x+3 +(8x-3)\sqrt{2x^{2}+1}=0$
$\Leftrightarrow 3(2x^{2}+1)-3x^{2}+x+(8x-3)\sqrt{2x^{2}+1}=0$
$\Delta =(8x-3)^{2}-4.3(-3x^{2}+x)$
Tự làm nốt ^^

 

[SautatcaST319]

1/ Tìm nghiệm nguyên dương của pt :
[tex]2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}[/tex]
2/ Giải hệ pt sau :
[tex]\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+y}+x-y=2 & \\\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5 & \end{matrix}\right.[/tex]
3/ Giải pt :
[tex]3(\sqrt{2x^{2}+x}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^{2}+1})[/tex]
Gợi ý : giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Chân thành cảm ơn các bạn

Cho phép Lori Yagami gửi lời tới Nest Kyo
3/
[tex]3(\sqrt{2x^2+1}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^2+1})[/tex]
<=>[tex]3\sqrt{2x^2+1}-3=x+3x^2+8x\sqrt{2x^2+1}[/tex]
<=>[tex]3\sqrt{2x^2+1}-3=x+6x^2-6x^2+3x^2+8x\sqrt{2x^2+1}[/tex] (Thêm bớt [tex]6x^2[/tex] )
<=>[tex]3\sqrt{2x^2+1}-3=(6x^2+3)-6x^2+x+3x^2+8x\sqrt{2x^2+1}[/tex]
<=>[tex]3\sqrt{2x^2+1}-3=3(2x^2+1)-3x^2+x[/tex]
<=>[tex]3(2x^2+1)-3x^2+x+8x\sqrt{2x^2+1}-3\sqrt{2x^2+1}=0[/tex]
Đặt nhân tử chung. Ta có :
[tex]3(2x^2+1)+(8x-3)\sqrt{2x^2+1}-3x^2+x=0[/tex]
Ta đặt t = [tex]\sqrt{2x^2+1} (t> 0)[/tex]
Pt trở thành :
[tex]3t^2+(8x-3)t-3x^2+x=0[/tex]
[tex]\Delta =(8x-3)^2-4.3(-3x^2+x)=100x^2-60x+9=(10x+3)^2\geq 0[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta }=\left | 10x-3 \right |=\pm (10x-3)[/tex]
Chọn [tex]\sqrt{\Delta }=-10x+3[/tex]
[tex]=>t_{1}=\frac{3-8x-10x+3}{6}=1-3x[/tex]
[tex]t_{2}=\frac{3-8x+10-3}{6}=\frac{x}{3}[/tex]
Với : [tex]t_{1}=\sqrt{2x^2+1}[/tex] .Ta có :
[tex]1-3x=\sqrt{2x^2+1}[/tex] ( Đk : [tex]1-3x\geq 0[/tex] <=> [tex]x\leq \frac{1}{3}[/tex] )
<=>[tex]1-6x+9x^2=2x^2+1[/tex] (Bình 2 vế )
<=>[tex]7x^2-6x=0[/tex]
=> [tex]x_{1}=\frac{6}{7}[/tex] (Loại)
=>[tex]x_{2}=0[/tex] (Nhận)
Với : [tex]t_2=\sqrt{2x^2+1}[/tex].Ta có :
[tex]\frac{x}{3}=\sqrt{2x^2+1}[/tex] (Đk : [tex]\frac{x}{3}\geq 0<=>x\geq 0[/tex] )
<=>[tex]x^2=9(2x^2+1)[/tex]
<=>[tex]x^2=18x^2+9[/tex]
<=>[tex]17x^2+9=0[/tex] (Vô nghiệm)
Vậy ; Pt đã cho có 1 nghiệm : x=0
Đây là bài khá khó. Bạn nên luyện tập thêm.