[Toán 10] bài tập bất đẳng thức

[vipboycodon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn: $a+b = 1$.

Chứng minh rằng: $\dfrac{2+\sqrt{2a}}{2-a}+\dfrac{2+\sqrt{2b}}{2-b} \ge 4$

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c = 3$.

Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{a^3+b^2+c}+\dfrac{b}{b^3+c^2+a}+\dfrac{c}{c^3+a^2+b} \le 1$

Bài 3: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2 \le \dfrac{3}{4}$

Tìm GTNN của $P = 8abc+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$

 

[hien_vuthithanh]

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c = 3$.

Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{a^3+b^2+c}+\dfrac{b}{b^3+c^2+a}+\dfrac{c}{c^3+a^2+b} \le 1$

Áp dụng BCS có : $(a^3+b^2+c)(\dfrac{1}{a}+1+c) \ge (a+b+c)^2$

$\rightarrow \dfrac{1}{a^3+b^2+c} \le \dfrac{\dfrac{1}{a}+1+c}{(a+b+c)^2}=\dfrac{1+a+ac}{a(a+b+c)^2}$

$\rightarrow \dfrac{a}{a^3+b^2+c} \le \dfrac{1+a+ac}{(a+b+c)^2}$

$\rightarrow \sum\dfrac{a}{a^3+b^2+c} \le \dfrac{3+\sum a+\sum ac}{(a+b+c)^2}=\dfrac{6+\sum ac}{9}\le \dfrac{6+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}{9}=1$

$\rightarrow $ đpcm

 

[hien_vuthithanh]

Bài 1: Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn: $a+b = 1$.

Chứng minh rằng: $\dfrac{2+\sqrt{2a}}{2-a}+\dfrac{2+\sqrt{2b}}{2-b} \ge 4$

Đặt $\sqrt{2a}=x , \sqrt{2b}=y (x ;y >0) \rightarrow x^2+y^2=2$

Do $a ,b >0 \rightarrow a,b <1 \rightarrow x,y < \sqrt{2} <2$

$\rightarrow BDT \leftrightarrow \dfrac{2+x}{2-\dfrac{x^2}{2}} +\dfrac{2+y}{2-\dfrac{y^2}{2}}\ge 4$

$\leftrightarrow \dfrac{2+x}{4-x^2}+\dfrac{2+y}{4-y^2}\ge 2$

$\leftrightarrow \dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{2+y}\ge 2$

$\leftrightarrow \dfrac{4-(x+y)}{(2-x)(2-y)}\ge 2$ (*)

Đặt $x+y=t \rightarrow xy=\dfrac{t^2-2}{2}$

Có :$ (x+y)^2 \le 2(x^2+y^2)=4\rightarrow x+y \le 2$

$x+y=\sqrt{x^2+y^2+2xy}> \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2}$

$\rightarrow x+y=t \epsilon (\sqrt{2};2]$

$\rightarrow$ (*) $\leftrightarrow \dfrac{4-t}{4-2t+\dfrac{t^2-2}{2}}\ge 2 \leftrightarrow t^2-3t+2\le 0 $

$\leftrightarrow (t-1)(t-2)\le 0$ ( Luôn đúng \forall $t \epsilon (\sqrt{2};2]$ )

$\rightarrow $ đpcm

 

[hien_vuthithanh]

Bài 3: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2 \le \dfrac{3}{4}$

Tìm GTNN của $P = 8abc+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$

$P = 8abc+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \ge 8abc+ 3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{(abc)^2}}$

Đặt $\sqrt[3]{abc}=t $

$\dfrac{3}{4}\ge a^2+b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{(abc)^2}\rightarrow abc\le \dfrac{1}{8} \rightarrow t\le \dfrac{1}{2}$

$\rightarrow P\ge 8t^3+3.\dfrac{1}{t^2}$

AD $AM-GM \rightarrow t^3+t^3+\dfrac{1}{32t^2}+\dfrac{1}{32t^2}+\dfrac{1}{32t^2} \ge 5\sqrt[5]{\dfrac{1}{32^3}}=\dfrac{5}{8}$ (*)

TT $\rightarrow 8t^3+\dfrac{3}{8}.\dfrac{1}{t^2}\ge 4.\dfrac{5}{8}=\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{21}{8}.\dfrac{1}{t^2}\ge \dfrac{21}{8}.\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{21}{2}$(*)(*)

(*) ,(*)(*) $\rightarrow P\ge 13$