[Toán 10] bài tập bất đẳng thức

V

vipboycodon

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn: a+b=1a+b = 1.

Chứng minh rằng: 2+2a2−a+2+2b2−b≥4\dfrac{2+\sqrt{2a}}{2-a}+\dfrac{2+\sqrt{2b}}{2-b} \ge 4

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3a+b+c = 3.

Chứng minh rằng: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1\dfrac{a}{a^3+b^2+c}+\dfrac{b}{b^3+c^2+a}+\dfrac{c}{c^3+a^2+b} \le 1

Bài 3: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: a2+b2+c2≤34a^2+b^2+c^2 \le \dfrac{3}{4}

Tìm GTNN của P=8abc+1a2+1b2+1c2P = 8abc+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}
 
H

hien_vuthithanh

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3a+b+c = 3.

Chứng minh rằng: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1\dfrac{a}{a^3+b^2+c}+\dfrac{b}{b^3+c^2+a}+\dfrac{c}{c^3+a^2+b} \le 1
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Áp dụng BCS có : (a3+b2+c)(1a+1+c)≥(a+b+c)2(a^3+b^2+c)(\dfrac{1}{a}+1+c) \ge (a+b+c)^2

→1a3+b2+c≤1a+1+c(a+b+c)2=1+a+aca(a+b+c)2\rightarrow \dfrac{1}{a^3+b^2+c} \le \dfrac{\dfrac{1}{a}+1+c}{(a+b+c)^2}=\dfrac{1+a+ac}{a(a+b+c)^2}

→aa3+b2+c≤1+a+ac(a+b+c)2\rightarrow \dfrac{a}{a^3+b^2+c} \le \dfrac{1+a+ac}{(a+b+c)^2}

→∑aa3+b2+c≤3+∑a+∑ac(a+b+c)2=6+∑ac9≤6+(a+b+c)239=1\rightarrow \sum\dfrac{a}{a^3+b^2+c} \le \dfrac{3+\sum a+\sum ac}{(a+b+c)^2}=\dfrac{6+\sum ac}{9}\le \dfrac{6+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}{9}=1

→\rightarrow đpcm
 
H

hien_vuthithanh

Bài 1: Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn: a+b=1a+b = 1.

Chứng minh rằng: 2+2a2−a+2+2b2−b≥4\dfrac{2+\sqrt{2a}}{2-a}+\dfrac{2+\sqrt{2b}}{2-b} \ge 4
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đặt 2a=x,2b=y(x;y>0)→x2+y2=2\sqrt{2a}=x , \sqrt{2b}=y (x ;y >0) \rightarrow x^2+y^2=2

Do a,b>0→a,b<1→x,y<2<2a ,b >0 \rightarrow a,b <1 \rightarrow x,y < \sqrt{2} <2

→BDT↔2+x2−x22+2+y2−y22≥4\rightarrow BDT \leftrightarrow \dfrac{2+x}{2-\dfrac{x^2}{2}} +\dfrac{2+y}{2-\dfrac{y^2}{2}}\ge 4

↔2+x4−x2+2+y4−y2≥2\leftrightarrow \dfrac{2+x}{4-x^2}+\dfrac{2+y}{4-y^2}\ge 2

↔12−x+12+y≥2\leftrightarrow \dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{2+y}\ge 2

↔4−(x+y)(2−x)(2−y)≥2\leftrightarrow \dfrac{4-(x+y)}{(2-x)(2-y)}\ge 2 (*)

Đặt x+y=t→xy=t2−22x+y=t \rightarrow xy=\dfrac{t^2-2}{2}

Có :(x+y)2≤2(x2+y2)=4→x+y≤2 (x+y)^2 \le 2(x^2+y^2)=4\rightarrow x+y \le 2

x+y=x2+y2+2xy>x2+y2=2x+y=\sqrt{x^2+y^2+2xy}> \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2}

→x+y=tϵ(2;2]\rightarrow x+y=t \epsilon (\sqrt{2};2]

→\rightarrow (*) ↔4−t4−2t+t2−22≥2↔t2−3t+2≤0\leftrightarrow \dfrac{4-t}{4-2t+\dfrac{t^2-2}{2}}\ge 2 \leftrightarrow t^2-3t+2\le 0

↔(t−1)(t−2)≤0\leftrightarrow (t-1)(t-2)\le 0 ( Luôn đúng \forall tϵ(2;2]t \epsilon (\sqrt{2};2] )

→\rightarrow đpcm
 
H

hien_vuthithanh

Bài 3: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: a2+b2+c2≤34a^2+b^2+c^2 \le \dfrac{3}{4}

Tìm GTNN của P=8abc+1a2+1b2+1c2P = 8abc+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

P=8abc+1a2+1b2+1c2≥8abc+3.1(abc)23P = 8abc+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \ge 8abc+ 3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{(abc)^2}}

Đặt abc3=t\sqrt[3]{abc}=t

34≥a2+b2+c2≥3(abc)23→abc≤18→t≤12\dfrac{3}{4}\ge a^2+b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{(abc)^2}\rightarrow abc\le \dfrac{1}{8} \rightarrow t\le \dfrac{1}{2}

→P≥8t3+3.1t2\rightarrow P\ge 8t^3+3.\dfrac{1}{t^2}

AD AM−GM→t3+t3+132t2+132t2+132t2≥513235=58AM-GM \rightarrow t^3+t^3+\dfrac{1}{32t^2}+\dfrac{1}{32t^2}+\dfrac{1}{32t^2} \ge 5\sqrt[5]{\dfrac{1}{32^3}}=\dfrac{5}{8} (*)

TT →8t3+38.1t2≥4.58=52\rightarrow 8t^3+\dfrac{3}{8}.\dfrac{1}{t^2}\ge 4.\dfrac{5}{8}=\dfrac{5}{2}

218.1t2≥218.1(12)2=212\dfrac{21}{8}.\dfrac{1}{t^2}\ge \dfrac{21}{8}.\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{21}{2}(*)(*)

(*) ,(*)(*) →P≥13\rightarrow P\ge 13
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom