Cho a+b+c=4
Chứng minh rằng [TEX] 27(a^2+b^2+c^2+abc)\geq 208[/TEX]
Mấy bài toán bất đẳng thức với lại cực trị thường hay có câu rằng là cho ... là các số thực dương ( hoặc không âm ) , gì gì đó lắm .
Theo thói quen , thường thì đọc đề bài gì mà không thấy câu đó thì nhiều khả năng là đề bài đó không ổn đâu .
Ví dụ như bài này có $ \left( a,b,c \right)=\left(3,3,-2 \right) $ thỏa $a+b+c=4$ , nhưng mà
$$ 27 \cdot \left( a^2+b^2+c^2+abc \right)=108 < 208 $$
đấy chứ ?
Vậy nên , theo như bình thường , tạm thời mình giải bài này với các số thực không âm $a,b,c$ nhé .
Cho $a,b,c \ge 0$ , a+b+c=4
Chứng minh rằng [TEX] 27(a^2+b^2+c^2+abc)\geq 208[/TEX]
Từ đề bài có
$$ c=4-a-b \ge 0 $$
Lúc đó
$$ 27 \left(a^2+b^2+c^2+abc \right)- 208 \\
=\left(54-27b \right) \cdot a^2 -27 \cdot \left( b-2 \right) \cdot \left( b-4 \right) \cdot a +54b^2-216b+224 =f \left( a \right) $$
Coi đó là tam thức bậc hai theo $ a $ .
- Nếu $b \ge 2$ thì
$$f \left( a \right)=27 \cdot a \cdot \left(b-2 \right) \cdot \left( 4-a-b \right) +54b^2-216b+224 \ge 54b^2-216b+224=54 \cdot \left(b-2 \right)^2 +8 >0 $$
- Nếu $b < 2$ thì
$$f \left( a \right)= \left(54-27b \right) \cdot a^2 -27 \cdot \left( b-2 \right) \cdot \left( b-4 \right) \cdot a +54b^2-216b+224 \\
=A \cdot a^2+B \cdot a + C$$
Với
$$\begin{cases}
A= \left(54-27b \right) >0 \\
B= -27 \cdot \left( b-2 \right) \cdot \left( b-4 \right) \\
C= 54b^2-216b+224
\end{cases}$$
Có
$$ \Delta_{f}=B^2-4AC=27 \cdot \left( 3b+2 \right) \cdot \left( b-2 \right) \cdot \left(3b-4 \right)^2 \le 0 $$
Vậy
$$f \left( a \right)=A \cdot \left( \left( a+\frac{B}{2A} \right)^2 - \frac{\Delta_{f}}{4A^2} \right) \ge 0 $$
Kết thúc chứng minh .
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn