[Toán 10] $(1+a_1)(1+a_2).....(1+a_n) \geq 2^n$

[kimnguyen_1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. a,b,c,d>0
$\frac{a^2}{b^5} + \frac{b^2}{c^5} + \frac{c^2}{d^5} + \frac{d^2}{a^5} > \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} +\frac{1}{c^3} + \frac{1}{d^3}$

2. x,y,z >0. cm:
$\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2+xz} + \frac{1}{z^2 + xy} \leq \frac{x+y+z}{2xyz}$

3. a1, a2, a3,.... an\geq 0 và a1.a2....an=1
cm: $(1+a_1)(1+a_2).....(1+a_n) \geq 2^n$
____________________________________

cÁc bÁc rÀng giúp dÙm nhÉ~:>

 

[nttthn_97]

Bài 2

$\frac{1}{x^2+yz}$[TEX]\leq[/TEX]$\frac{1}{2x\sqrt{yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{2xyz}$[TEX]\leq[/TEX]$\frac{\frac{1}{2}(y+z)}{2xyz}$

Tương tự

$\frac{1}{y^2+xz}$[TEX]\leq[/TEX]$\frac{\frac{1}{2}(x+z)}{2xyz}$

$\frac{1}{z^2+xy}$[TEX]\leq[/TEX]$\frac{\frac{1}{2}(x+y)}{2xyz}$

Cộng các vế ta có đpcm

 

[kimnguyen_1997]

Bác nào giúp 2 câu còn lại không?


_______________________________________________

 

[oggyz2]

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho n số ta có :
$\frac{1}{a_{1}+1}+\frac{1}{a_{2}+1}+...+\frac{1}{a_{n}+1}$\geq $\frac{n}{\sqrt[n]{(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)}}$
$\frac{a_{1}}{a_{1}+1} + \frac{a_{2}}{a_{2}+1} +...+ \frac{a_{n}}{a_{n}+1}$ \geq $n\frac{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}{\sqrt[n]{(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)}}$ (2)
Cộng (1) với (2) ta được :
$n$\geq $\frac{n(\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}+1)}{\sqrt[n]{(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)}}$
$(=)$ $\sqrt[n]{(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)}$\geq $(\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}+1)$
$(=)$ $(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)$\geq $(\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}+1)^{n}$
$(=)$ $(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)$\geq $2^{n}$

P.S: Cách giải này em không biết có phù hợp không nữa.

 

[minhtuyb]

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho n số ta có :
$\frac{1}{a_{1}+1}+\frac{1}{a_{2}+1}+...+\frac{1}{a_{n}+1}$\geq $\frac{n}{\sqrt[n]{(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)}}$
$\frac{a_{1}}{a_{1}+1} + \frac{a_{2}}{a_{2}+1} +...+ \frac{a_{n}}{a_{n}+1}$ \geq $n\frac{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}{\sqrt[n]{(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)}}$ (2)
Cộng (1) với (2) ta được :
$n$\geq $\frac{n(\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}+1)}{\sqrt[n]{(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)}}$
$(=)$ $\sqrt[n]{(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)}$\geq $(\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}+1)$
$(=)$ $(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)$\geq $(\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}+1)^{n}$
$(=)$ $(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)$\geq $2^{n}$

P.S: Cách giải này em không biết có phù hợp không nữa.

Nếu mình không nhầm thì cách của bạn thực chất là áp dụng BĐT Holder ^_^.

Nhưng ta có thể AM-GM thẳng luôn:
$$1+a_1\ge 2\sqrt{a_1}\\ 1+a_2\ge 2\sqrt{a_2}\\...\\1+a_n\ge 2\sqrt{a_n}$$
Nhân lại là xong ^_^

---
Bài 1: Theo AM-GM 2 số và 3 số:
$$\dfrac{a^2}{b^5}+\dfrac{1}{a^2b}\ge \dfrac{2}{b^3}\\ \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3})\ge \dfrac{1}{a^2b}$$
Xây dựng $6$ BĐT tương tự rồi cộng lại có ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d\ \square$