[toán] 1 BÀI TÌM MIN

L

lp_qt

$P= \dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2} \\

\iff P= \dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}$

Ta có:

$\dfrac{a}{1-a^2} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 $


$\iff (\sqrt{3}a-1)^2.(\sqrt{3}a+2) \ge 0$ (luôn đúng với $a \in (0;1)$)

Ta được

$P \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi .....
 
Last edited by a moderator:
H

hien_vuthithanh

lp_qt said:
$\dfrac{a}{1-a^2} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 $


$\iff (\sqrt{3}a-1)^2.(\sqrt{3}a+2) \ge 0$ (luôn đúng với $a \in (0;1)$)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cái này quy đông lên là được mà

$\dfrac{a}{1-a^2} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \iff 3\sqrt{3}a^4-3\sqrt{3}a^2+2a \ge 0 \iff a(3\sqrt{3}a^3-3\sqrt{3}a+2) \ge 0 \iff a(\sqrt{3}a-1)^2.(\sqrt{3}a+2) \ge 0$ (Cái này luôn đúng với $a \in (0;1)$)
 
H

hien_vuthithanh

Cách khác :

AD cauchy
$$a^2.(1-a^2)^2=\dfrac{1}{2}.2a^2.(1-a^2).(1-a^2) \le \dfrac{1}{2}.(\dfrac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3})^3=\dfrac{4}{27}$$

$$\leftrightarrow a.(1-a^2) \le \dfrac{2}{3\sqrt{3}}$$
$$ \leftrightarrow \dfrac{1}{ a.(1-a^2)} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$
$$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{ a.(1-a^2)} \ge \dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$$
$$ \leftrightarrow \dfrac{a}{b^2+c^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$$

TT $\rightarrow$ dpcm
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom