Toán 9 TỔ HỢP

[Edgarnguyen248]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho một đa giác có 10 đỉnh (bốn đỉnh: A, B, C, D hoặc B, C, D, E hoặc C, D, E, F hoặc D, E, F, G hoặc E, F, G, H hoặc F, G, H, I hoặc G, H, I, J hoặc H, I, J, A hoặc I, J, A, B hoặc J, A, B, C được gọi là bốn đỉnh liên tiếp của đa giác). Các đỉnh của đa giác được đánh số một cách tùy ý bởi các số nguyên thuộc tập hợp M = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} (biết mỗi đỉnh chỉ được đánh bởi một số, các số được đánh ở đỉnh là khác nhau). Chứng minh rằng ta luôn tìm được 4 đỉnh liên tiếp của đa giác được đánh số thuộc tập hợp M mà tổng các số đó lớn hơn 21.

 

[7 1 2 5]

Giả sử điều phải chứng minh sai, hay không tồn tại [imath]4[/imath] đỉnh liên tiếp của đa giác thỏa mãn đề bài.
Khi đó, ta thấy chọn được [imath]10[/imath] bộ [imath]4[/imath] đỉnh liên tiếp của tam giác ([imath](ABCD),(BCDE),(CDEF),(DEFG),(EFGH),(FGHI),(GHIJ),(HIJA),(IJAB),(JABC)[/imath])
Vì không tồn tại [imath]4[/imath] đỉnh liên tiếp của tam giác thỏa mãn đề bài nên tổng các số trên [imath]4[/imath] đỉnh liên tiếp luôn không quá [imath]21[/imath].
Khi đó, tổng các số trên đỉnh của [imath]10[/imath] bộ [imath]4[/imath] đỉnh liên tiếp sẽ không quá [imath]21\cdot 10=210[/imath].
Mặt khác, tổng đó lại bằng [imath]4[/imath] lần tổng tất cả các số trên [imath]10[/imath] đỉnh, tức bằng [imath]4(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=220[/imath] nên ta có [imath]220 \leq 210[/imath](mâu thuẫn)
Vậy ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Toán rời rạc