Trong kì thi chọn có n môn ( n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 5), mọi môn đều có thí sinh tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
a) Có ít nhất 5 môn có số lượng thí sinh tham gia thi đôi một khác nhau
b) Với 2 môn thi bất kì, luôn tìm được 2 môn thi khác có tổng số lượng thí sinh tham gia bằng với tổng số lượng thí sinh của 2 môn đó. Hỏi kì thi có ít nhất bao nhiêu môn được tổ chức
Nguyễn Phúc LươngGọi 2 môn có số người nhiều nhất là [imath]a \geq,b[/imath] , thấp nhất là [imath]d\geq e[/imath]
Chọn 2 môn có số người nhiều nhất [imath]a,b[/imath] theo giả thiết b) sẽ suy ra tồn tại 2 môn khác sao cho tổng số người của chúng là [imath]a+b[/imath]
Gọi là [imath]x,y[/imath] thỏa mãn [imath]x+y=a+b[/imath]
Mà [imath]x,y \leq b\leq a \Rightarrow x+y \leq a+b \Rightarrow b\geq a[/imath]
Mà [imath]a\geq b \Rightarrow[/imath] dấu = xảy ra khi [imath]a=b=x=y[/imath]
Tương tự, sẽ có 4 môn có cùng số người là [imath]d=e[/imath]
Xét môn có số người nhiều nhất khác 4 môn có số người là [imath]a[/imath] là [imath]f[/imath].
Tương tự, ghép với môn có số người [imath]a[/imath] , theo giả thiết b) sẽ tồn tại 2 môn khác có số người [imath]z\geq t[/imath] thỏa mãn [imath]z+y =a+f[/imath]
Nhưng [imath]t\leq z \leq f \leq a \Rightarrow z+t \leq f+a[/imath]. Dấu = xảy ra khi [imath]z=a ; t=f[/imath]
Vậy sẽ có ít nhất 2 môn có số người là [imath]f[/imath] ([imath]z=a[/imath] không cần xét tại có 4 môn rồi)
Tương tự với bên trường hợp nhỏ nhất, sẽ có ít nhất 2 môn có số người là [imath]g\geq d[/imath]
Thêm điều kiện a), sẽ có ít nhất môn có số người là [imath]c \ne a,b,d,e,f,g[/imath]
Khi này, có ít nhất [imath]4+4+2+2+1=13[/imath]môn được tổ chức.
Xây dựng trường hợp thỏa mãn: các môn có số người như sau:
[imath]A= B =C=D =5; E=F = 4; G=3; H =K =2; L=M=N=P = 1[/imath]
Chọn [imath]A+B =C+D[/imath] tương tự đảo lại
Chọn [imath]A+E = B+F[/imath] tương tự đảo lại
Chọn [imath]A+G = E+F[/imath] tương tự đảo lại
Chọn [imath]A+H = E+G[/imath] tương tự đảo lại
Chọn [imath]A+L = B+M[/imath] tương tự đảo lại.
Trường hợp đối với [imath]L,M,N,P[/imath] ta làm ngược lại là được.
Chọn [imath]E+H = A+L[/imath] đều thỏa mãn.
Ngoài ra mời em tham khảo: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Toán rời rạc
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
