Toán 9 Tổ hợp

_Error404_ · 20 Tháng ba 2022

Một trường học có [imath]2020[/imath] học sinh nam và [imath]2020[/imath] học sinh nữ. Trong trường, người ta có tổ chức một số câu lạc bộ, biết mỗi học sinh tham gia không quá [imath]16[/imath] câu lạc bộ và mỗi cặp [imath]2[/imath] học sinh nam và nữ bất kỳ thì cùng tham gia vào ít nhất [imath]1[/imath] câu lạc bộ. Chứng minh rằng có [imath]1[/imath] câu lạc bộ trong trường mà trong đó có ít nhất [imath]64[/imath] học sinh nam và [imath]64[/imath] học sinh nữ.
Nhờ mọi người giúp e với !!! @Mộc Nhãn

7 1 2 5 · 20 Tháng ba 2022

Giả sử mỗi câu lạc bộ đều có không quá [imath]63[/imath] học sinh nam hoặc [imath]63[/imath] học sinh nữ. Ta sẽ đếm [imath]S[/imath] là số bộ [imath](a,b,c)[/imath] mà học sinh nam [imath]a[/imath], học sinh nữ [imath]b[/imath] cùng tham gia câu lạc bộ [imath]c[/imath].
+ Đếm theo học sinh:
- Chọn ra 1 học sinh nam có [imath]2020[/imath] cách.
- Chọn ra 1 học sinh nữ có [imath]2020[/imath] cách.
Vì mỗi cặp học sinh khác giới đều cùng tham gia 1 câu lạc bộ nên [imath]S \geq 2020^2[/imath]
+ Đếm theo câu lạc bộ:
Ta xét 2 loại câu lạc bộ:
Loại 1, câu lạc bộ không quá [imath]63[/imath] học sinh nam. Do mỗi học sinh tham gia không quá [imath]16[/imath] câu lạc bộ nên số cặp [imath](b,c)[/imath] không quá [imath]2020 \cdot 16[/imath]
Suy ra số bộ [imath](a,b,c)[/imath] trong trường hợp này không quá [imath]63 \cdot 2020 \cdot 16[/imath]
Loại 2, câu lạc bộ không quá [imath]63[/imath] học sinh nữ. Tương tự trường hợp này số bộ [imath](a,b,c)[/imath] cũng không quá [imath]63 \cdot 2020 \cdot 16[/imath]
Từ đó [imath]S \leq 2 \cdot 63 \cdot 2020 \cdot 16[/imath]
[imath]\Rightarrow 2020^2 \leq 2 \cdot 63 \cdot 16 \Leftrightarrow 2020 \leq 2016[/imath](vô lí)
Vậy ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chuyên đề Toán rời rạc

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán 9 Tổ hợp

_Error404_

Học sinh chăm học

Attachments

7 1 2 5

Cựu TMod Toán