Trong bài toán này thì chúng ta phải định nghĩa nhóm có 1 thành viên thì không thể chia thành 2 nhóm mới đâu nhỉ.
Gọi [imath]a_1<a_2<...<a_k[/imath] là số người của nhóm [imath]1,2,...,k[/imath].
Nhận thấy nếu [imath]a_1 \geq 3[/imath] thì khi chia nhóm thứ nhất thành 2 nhóm không bằng nhau thì không tồn tại 2 trong [imath]k+1[/imath] nhóm mới có số người bằng nhau.
Từ đó [imath]a_1 \leq 2[/imath]
Xét [imath]a_1=2[/imath].
Khi đó, nếu ta chia nhóm thứ [imath]i[/imath] thành 2 nhóm mới có [imath]1[/imath] và [imath]a_i-1[/imath] thành viên thì vì [imath]a_j \geq 2 \forall j=\overline{1,k}[/imath] nên phải tồn tại [imath]j \in [1,k]: a_j=a_i-1[/imath]
Từ đó ta dễ thấy [imath]a_{i-1}=a_i-1 \forall i=\overline{2,k} \Rightarrow a_i=i+1 \forall i=\overline{2,k}[/imath]
[imath]\Rightarrow 100=a_1+a_2+...+a_k=2+3+...+(k+1)=\dfrac{k^2+3k}{2}[/imath]
Nhận thấy không tồn tại [imath]k \in \mathbb{N}^*[/imath] thỏa mãn phương trình nên trường hợp này không thỏa mãn.
[imath]\Rightarrow a_1=1[/imath]
Ta có [imath]a_2>a_1 \Rightarrow a_2 \geq a_1+1=2[/imath]
[imath]a_3> a_2 \Rightarrow a_3 \geq a_2+1 \geq a_1+2=3[/imath]
Tương tự ta có [imath]a_i \geq i \forall i=\overline{1,k}[/imath]
[imath]\Rightarrow 100=a_1+a_2+...+a_k \geq 1+2+...+k=\dfrac{k(k+1)}{2} \Rightarrow k \leq 13[/imath]
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi [imath]a_1=1,a_2=2,...,a_{12}=12,a_{13}=23[/imath]
Lại thấy rằng: Một số [imath]n[/imath] thì có [imath][\dfrac{n}{2}][/imath] cặp [imath](a,b)[/imath] không xét thứ tự sao cho [imath]a,b \in \mathbb{N}^*[/imath] và [imath]a+b=n[/imath]
Mặt khác, để bài toán được thỏa mãn thì trong mỗi cặp [imath](a,b)[/imath] sao cho [imath]a+b=a_i[/imath] thì ít nhất 1 trong 2 số [imath]a,b[/imath] bằng 1 số [imath]a_j(j <i)[/imath] nào đó.
Mà có [imath][\dfrac{a_i}{2}][/imath] cặp và [imath]i-1[/imath] số [imath]a_j[/imath] mà [imath]j<i \Rightarrow i-1 \geq [\dfrac{a_i}{2}] \geq \dfrac{a_i-1}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow a_i \leq 2i-1 \forall i=\overline{2,k}[/imath]
[imath]\Rightarrow 100=1+a_2+...+a_k \leq 1+2(2+3+...+k)-(k-1)=k^2 \Rightarrow k \geq 10[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a_1=1,a_2=3,...,a_{10}=19[/imath]
Ta sẽ chứng minh trường hợp trên đúng.
Thật vậy thì 10 số trên là 10 số lẻ đầu tiên. Nếu ta phân tích 1 số trong dãy trên thành tổng 2 số bất kỳ, do các số trong dãy trên lẻ nên trong 2 số đó phải có 1 số lẻ. Khi đó số lẻ đó chắc chắn nằm trong 10 số trên nên ta có đpcm.
Vậy [imath]\min k=10, \max k=13[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chuyên đề Toán rời rạc
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
