Ta sẽ chứng minh không có bộ 3 số nào mà tổng 2 trong 3 số luôn là số hữu tỉ.
Thật vậy, giả sử tồn tại 3 số vô tỉ a,b,c thỏa mãn.
Khi đó [tex]\left\{\begin{matrix} a+b\in \mathbb{Q}\\ b+c \in \mathbb{Q}\\ c+a \in \mathbb{Q} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-c=(a+b)-(b+c) \in\mathbb{Q}\\ a+c \in \mathbb{Q} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a \in \mathbb{Q}\\ c \in \mathbb{Q} \end{matrix}\right.[/tex](vô lí)
Bây giờ, ta xem mỗi số hữu tỉ là 1 điểm trên mặt phẳng, tô đoạn nối 2 điểm là xanh nếu tổng 2 số là số hữu tỉ, tô đoạn đó là đỏ nếu tổng 2 số là số vô tỉ.
(Ta quy về bài toán: Cho 6 điểm trên mặt phẳng. Tô các đoạn thẳng nối 2 điểm bằng màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh tồn tại 3 điểm có 3 đoạn thẳng cùng màu.)
Ta chọn 1 điểm [TEX]A_1[/TEX] bất kì, đoạn này nối 5 điểm còn lại bởi 5 đoạn thẳng.
Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại ít nhất [tex][\frac{5}{2}]+1=3[/tex] đoạn cùng màu. Giả sử 3 đoạn đó cùng màu xanh và là 3 đoạn [TEX]A_1A_2,A_1A_3,A_1A_4[/TEX]
Xét các trường hợp:
+ Trong 3 đoạn [TEX]A_2A_3,A_3A_4,A_4A_2[/TEX] có 1 đoạn màu xanh. Ta có đpcm.
+ 3 đoạn [TEX]A_2A_3,A_3A_4,A_4A_2[/TEX] không có đoạn màu xanh. Khi đó [TEX]A_2A_3,A_3A_4,A_4A_2[/TEX] có cùng màu đỏ. Ta có đpcm.
Từ đó thì tồn tại 3 điểm có 3 đoạn thẳng cùng màu. Mà 3 đoạn đó không cùng xanh (vì không có bộ 3 số nào mà tổng 2 trong 3 số luôn là số hữu tỉ) nên tồn tại 3 đoạn có cùng màu đỏ hay tổng 2 số bất kì trong 3 số là 1 số vô tỉ.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
