Toán Tính

[quyduongvp02]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho các số a,b thỏa mãn [tex]a^{2}+b^{2}=1 và a^{3}+b^{3} =1.Tính a^{2005}+b^{2005}[/tex]
2) cho 2 số dương a,b thỏa mãn [tex]a^{2002}+b^{2002}=a^{2003}+b^{2003}=a^{2004}+b^{2004}.Tính a^{2005}+ b^{2005}[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

1)Cách 1 dễ thấy:$a=0,b=1$ thõa mãn biểu thức $a^2+b^2=1,a^3+b^3=1$ thay vào đó tính giá trị biểu thức.
Cách 2:
[tex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab=1+2ab \\a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab) \\(a^3+b^3)^2=(a+b)^2(1-ab)^2 \\\Leftrightarrow 1=(1+2ab)(1-ab)^2[/tex]
Tới đây bạn giải ra $ab$ rồi thay vào gt giải $ab$ ra .
2)
Cách 1:Tách qua chuyển vế rồi chứng minh $a=b=1$.
Cách 2:Áp dụng bất đẳng thức ta có:
[tex]a^{2004}+a^{2003}+a^{2002} \geq 3a^{2003} \\b^{2004}+b^{2003}+b^{2002} \geq 3b^{2003} \\\Rightarrow a^{2004}+b^{2004}+a^{2003}+b^{2003}+a^{2002}+b^{2002}\geq 3(a^{2003}+b^{2003}) \\\Rightarrow 3(a^{2003}+b^{2003}) \geq 3(a^{2003}+b^{2003})[/tex].
Từ điều trên ta có dấu '=' khi $a^{2002}=a^{2003}=a^{2004} \Rightarrow a=1$ tương tự với b