tính dùm em cái.................
[TEX]1^4+2^4+3^4+.......+2000^4[/TEX]
đặt [TEX]S_{n} = 1^4 +2^4+3^4+.....+n^4[/TEX]
ta có [TEX]S_{n} = \frac{7n^4}{2} - \frac{50n^3}{3} + 45n^2 - \frac{329n}{6} +24[/TEX] (chứng minh bằng quy nạp)
thay số tính được kết quả.
để mò ra công thức này mình đã ứng dụng bài toán tìm công thức tổng quát của dãy số [TEX](S_{n})[/TEX] được xác định bởi [TEX]S_1 = 1[/TEX] và công thức truy hồi [TEX]S_{n+1} = S_{n}[/TEX], làm cụ thể như sau:
ta đi tìm các số a, b , c ,d sao cho
[TEX]S_{n+1} -S_{n} = [a(n+1)^4 + b(n+1)^3+c(n+1)^2+d(n+1)]-[an^3+bn^3+cn^2+dn][/TEX]
[TEX]= a[(n+1)^4 - n^4]+b[(n+1)^3-n^3]+c[(n+1)^2 - n^2]+d[(n+1)-n][/TEX]
thay lần lượt n = 1, 2, ,3 ,4 ta được hệ 4 phương trình:
[TEX]15a+7b+3c+d=2^{4}[/TEX]
[TEX]65a+19b+3c+d = 3^{4}[/TEX]
[TEX]175a+37b+7c+d= 4^{4}[/TEX]
[TEX]369a+61b+9c+d=5^{4}[/TEX]
giải ra ta được [TEX]a= \frac{7}{2}; b=\frac{-50}{3};c=45 ;d=\frac{-329}{6}[/TEX]
suy ra
[TEX]S_{n+1} - [\frac{7}{2}(n+1)^4 + \frac{-50}{3}(n+1)^3+45(n+1)^2+\frac{-329}{6}(n+1)] = S_{n} - [\frac{7}{2}n^4 + \frac{-50}{3}n^3+45n^2+\frac{-329}{6}n] =.... = S_1 + 23[/TEX]
[TEX]\Rightarrow S_{n} =\frac{7}{2}n^4 + \frac{-50}{3}n^3+45n^2+\frac{-329}{6}n + 24 [/TEX]
mình nghĩ quá trình tìm ra công thức tính [TEX]S_n[/TEX] chỉ là bước nháp...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn