Ta có [imath]\Delta SAC=\Delta ABC(c-c-c)[/imath] và [imath]\Delta SAC, \Delta ABC[/imath] lần lượt cân tại [imath]S[/imath] và [imath]B[/imath].
Khi đó [imath]SO=BO=\dfrac{BD}{2} \Rightarrow \Delta SBD[/imath] vuông tại [imath]S[/imath] (đường trung tuyến bằng [imath]\dfrac{1}{2}[/imath] cạnh đối diện).
Trong [imath]\Delta SBD[/imath] ta có: [imath]BD=\sqrt{SB^{2}+SD^{2}}=\sqrt{a^{2}+x^{2}}[/imath].
Trong [imath]\Delta ABD[/imath] áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
[imath]AO=\sqrt{\dfrac{2(A B^{2}+A D^{2})}{4}-\dfrac{BD^{2}}{4}}=\sqrt{\dfrac{2(a^{2}+a^{2})-(a^{2}+x^{2})}{4}}=\dfrac{\sqrt{3 a^{2}-x^{2}}}{2} .[/imath]
Suy ra [imath]A C=2 A O=\sqrt{3 a^{2}-x^{2}}[/imath].
Khi đó [imath]AC .SD=\sqrt{3 a^{2}-x^{2}}. x=\sqrt{(3 a^{2}-x^{2}) x^{2}}[/imath].
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) ta có: [imath]AC . SD=\sqrt{(3 a^{2}-x^{2}) x^{2}} \leq \dfrac{3 a^{2}-x^{2}+x^{2}}{2}=\dfrac{3 a^{2}}{2}[/imath]
Vậy [imath]\max A C \cdot S D=\frac{3 a^{2}}{2}[/imath].
Dấu "=" xảy ra [imath]3 a^{2}-x^{2}=x^{2} \Rightarrow x^{2}=\frac{3 a^{2}}{2} \Rightarrow x=\frac{a \sqrt{6}}{2}[/imath].
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại
Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
