- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Kiến thức cơ bản: Căn bậc 3 của 1 số a là số x sao cho: [TEX]x^3=a[/TEX]
Mỗi số thực đều có duy nhất 1 căn bậc 3.
Các tính chất của căn bậc 3:
[tex]\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}<=>a<b[/tex]
[tex]\sqrt[3]{a.b}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}[/tex]
[tex]\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}[/tex] ( Với điều kiện là b khác 0)
Bài tập:
Dạng bài rút gọn biểu thức chứa căn bậc 3 khó hơn so với căn bậc 2, bởi vì hằng đằng thức của lập phương phức tạp hơn. Tuy nhiên các bạn có thể dùng mẹo nhỏ sau để làm.
1. Rút gọn: [tex]A=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex]
Dạng bài rút gọn này chúng ta có 2 cách để làm, 1 là sử dụng thêm bớt, phân tích nhân tử để trong từng căn là 1 lập phương. Cách 2 là sử dụng phương pháp "thế trong". Mình thích cách 2 hơn, ở đây mình sẽ trình bày cả 2 cách.
Cách 1: Rất khó để tự nhiên nhìn ra thêm bớt để phân tích, nhưng ta có mẹo nhỏ sau:
Bấm máy Casio ta thấy là A=1. À, để ý thấy biểu thức nó đối xứng vậy, chắc sẽ là phân tích được về:
[tex]A=\sqrt[3]{(a+\sqrt{b})^3}+\sqrt[3]{(a-\sqrt{b})^3}=2a[/tex] => [tex]a=\frac{A}{2}[/tex]
Với a, b đều là số hữu tỉ đẹp. Như vậy mình muốn tìm a nguyên cho đẹp đẹp chút, ở bài này ta thấy A=1, thì a=0,5. Chưa đẹp lắm. Vậy nhân đôi lên ta sẽ có [TEX]a=1[/TEX]
[tex]2A=2\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+2\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}+\sqrt[3]{16-8\sqrt{5}}[/tex]
Như ta mới nhận định, thì 2A sẽ có dạng:
[tex]2A=\sqrt[3]{(1+\sqrt{b})^3}+\sqrt[3]{(1-\sqrt{b})^3}=\sqrt[3]{1+3\sqrt{b}+3b+b\sqrt{b}}+\sqrt[3]{1-3\sqrt{b}+3b-b\sqrt{b}}=\sqrt[3]{(1+3b)+(3+b)\sqrt{b}}+\sqrt[3]{(1+3b)-(3+b)\sqrt{b}}[/tex]
Xem ở 2 căn, rõ ràng ta chỉ có [TEX]\sqrt{b}[/TEX], mà trong biểu thức của 2A ta chỉ có [TEX]\sqrt{5}[/TEX], vậy rõ ràng b nguyên thì b=5. Ta thay thử lại thấy vừa đẹp. Do đó ta phân tích được ngay:
[tex]2A=\sqrt[3]{(1+\sqrt{5})^3}+\sqrt[3]{(1-\sqrt{5})^3}[/tex]
Đây chính là mẹo để phân tích dễ dàng các bài toán rút gọn này. Sau khi nhận ra cách nhân đôi thì đơn giản bạn chỉ cần trình bày cho đẹp là được.
Cách 2: Thế trong:
Ta áp dụng HĐT lập phương của 1 tổng: [tex](a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/tex]
Như vậy ta thấy: [tex]A=a+b<=>A^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3ab.A[/tex]
Áp dụng: [tex]A^3=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}A=4+3\sqrt[3]{-1}A<=>A^3+3A-4=0<=>(A-1)(A^2+A+4)=0<=>A=1[/tex]
Phương trình bậc 2 còn lại thì dễ thấy vô nghiệm.
Đó là 2 cách để rút gọn biểu thức căn bậc 3. Tùy các bạn thích cách nào thì chọn.
2. Rút gọn: [tex]B=\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}[/tex]
Cách làm: theo cách 1: B=3, để a đẹp thì các bạn lại tính 2B. Sau đó làm tương tự gợi ý
Cách 2 thì lập phương tính bình thường
Mỗi số thực đều có duy nhất 1 căn bậc 3.
Các tính chất của căn bậc 3:
[tex]\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}<=>a<b[/tex]
[tex]\sqrt[3]{a.b}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}[/tex]
[tex]\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}[/tex] ( Với điều kiện là b khác 0)
Bài tập:
Dạng bài rút gọn biểu thức chứa căn bậc 3 khó hơn so với căn bậc 2, bởi vì hằng đằng thức của lập phương phức tạp hơn. Tuy nhiên các bạn có thể dùng mẹo nhỏ sau để làm.
1. Rút gọn: [tex]A=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex]
Dạng bài rút gọn này chúng ta có 2 cách để làm, 1 là sử dụng thêm bớt, phân tích nhân tử để trong từng căn là 1 lập phương. Cách 2 là sử dụng phương pháp "thế trong". Mình thích cách 2 hơn, ở đây mình sẽ trình bày cả 2 cách.
Cách 1: Rất khó để tự nhiên nhìn ra thêm bớt để phân tích, nhưng ta có mẹo nhỏ sau:
Bấm máy Casio ta thấy là A=1. À, để ý thấy biểu thức nó đối xứng vậy, chắc sẽ là phân tích được về:
[tex]A=\sqrt[3]{(a+\sqrt{b})^3}+\sqrt[3]{(a-\sqrt{b})^3}=2a[/tex] => [tex]a=\frac{A}{2}[/tex]
Với a, b đều là số hữu tỉ đẹp. Như vậy mình muốn tìm a nguyên cho đẹp đẹp chút, ở bài này ta thấy A=1, thì a=0,5. Chưa đẹp lắm. Vậy nhân đôi lên ta sẽ có [TEX]a=1[/TEX]
[tex]2A=2\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+2\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}+\sqrt[3]{16-8\sqrt{5}}[/tex]
Như ta mới nhận định, thì 2A sẽ có dạng:
[tex]2A=\sqrt[3]{(1+\sqrt{b})^3}+\sqrt[3]{(1-\sqrt{b})^3}=\sqrt[3]{1+3\sqrt{b}+3b+b\sqrt{b}}+\sqrt[3]{1-3\sqrt{b}+3b-b\sqrt{b}}=\sqrt[3]{(1+3b)+(3+b)\sqrt{b}}+\sqrt[3]{(1+3b)-(3+b)\sqrt{b}}[/tex]
Xem ở 2 căn, rõ ràng ta chỉ có [TEX]\sqrt{b}[/TEX], mà trong biểu thức của 2A ta chỉ có [TEX]\sqrt{5}[/TEX], vậy rõ ràng b nguyên thì b=5. Ta thay thử lại thấy vừa đẹp. Do đó ta phân tích được ngay:
[tex]2A=\sqrt[3]{(1+\sqrt{5})^3}+\sqrt[3]{(1-\sqrt{5})^3}[/tex]
Đây chính là mẹo để phân tích dễ dàng các bài toán rút gọn này. Sau khi nhận ra cách nhân đôi thì đơn giản bạn chỉ cần trình bày cho đẹp là được.
Cách 2: Thế trong:
Ta áp dụng HĐT lập phương của 1 tổng: [tex](a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/tex]
Như vậy ta thấy: [tex]A=a+b<=>A^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3ab.A[/tex]
Áp dụng: [tex]A^3=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}A=4+3\sqrt[3]{-1}A<=>A^3+3A-4=0<=>(A-1)(A^2+A+4)=0<=>A=1[/tex]
Phương trình bậc 2 còn lại thì dễ thấy vô nghiệm.
Đó là 2 cách để rút gọn biểu thức căn bậc 3. Tùy các bạn thích cách nào thì chọn.
2. Rút gọn: [tex]B=\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}[/tex]
Cách làm: theo cách 1: B=3, để a đẹp thì các bạn lại tính 2B. Sau đó làm tương tự gợi ý
Cách 2 thì lập phương tính bình thường
