Toán 12 Tính tích phân

[TyhLinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho f(x) không âm và đạo hàm trên [1;2] thỏa mãn f(1)=3 và [2f(x)-3x+1].f'(x)=3[1+f(x)] với mọi x thuộc [1;2]. Tính [tex]\int_{1}^{2}f(x)[/tex]dx

 

[Kaito Kidㅤ]

[tex] \displaystyle [2f(x)-3x+1].f'(x)=3[1+f(x)]\\ \displaystyle \Leftrightarrow (2f(x)+1)f'(x)=3(1+f(x))+3x.f'(x)[/tex]
Nguyên hàm 2 vế:
[tex]\displaystyle \int (2f(x)+1)f'(x)dx=\int (3x(1+f(x)))' dx\\\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}\int (2f(x)+1)d(2f(x)+1)=\int (3x(1+f(x)))' dx\\ \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}(2f(x)+1)^2 =3x(1+f(x))+C\\ \displaystyle \Leftrightarrow f^2(x)+f(x)+\frac{1}{4}=3x(1+f(x))+C[/tex]
Do $ \displaystyle f(1)=3$ nên $C=\frac{1}{4}$
Do đó có: [tex]\displaystyle f^2(x)+f(x)=3x(1+f(x))\\\Leftrightarrow (f(x)-3x)(1+f(x))=0[/tex]
Do $f(x)$ không âm nên $f(x)+1>0$
Vì vậy $f(x)=3x$
Tích phân bạn làm nhé .