Tính tích phân $\int_{-3}^{3}\frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^{2}}}$

[hanie3]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tính tích phân $\int_{-3}^{3}\frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^{2}}}$

 

[dien0709]

$I = \int_{-3}^{3}\dfrac{dx}{1+x+\sqrt[]{1+x^2}}$

Nhân liên hiệp \Rightarrow $f(x) = \dfrac{(1+x)-\sqrt[]{1+x^2}}{2x}$ = $g(x) - h(x)$

$h(x) = \dfrac{1+x^2}{2x\sqrt[]{1+x^2}}$ = $\dfrac{x}{2\sqrt[]{1+x^2}}$ + $\dfrac{1}{2x\sqrt[]{1+x^2}}$ = $k(x) +1/2 l(x)$

Các hàm k(x) và g(x) dễ ,ta cấn tính l(x)

Đặt $x = tant$ \Rightarrow $dx = \dfrac{1}{cos^2t}dt$ \Rightarrow $l(t)dt = \dfrac{dt}{sint}$

\Rightarrow $l(t)dt = \dfrac{sintdt}{1-cos^2t}$ \Rightarrow $l(u)du = \dfrac{-du}{1-u^2}$ .Xong

 

[hanie3]

mình làm thế này cơ

[TEX]I=\int_{-3}^{3}\frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^{2}}}[/TEX]
Đặt [TEX]t=x+\sqrt{1+x^{2}}[/TEX]
[TEX]\rightarrow \sqrt{1+x^{2}}=t-x[/TEX]
[TEX]\rightarrow 2tx=t^{2}-1[/TEX]
[TEX]\rightarrow dx=\frac{t^{2}+1}{2t^{2}}dt[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I=\int_{-3+\sqrt{10}}^{3+\sqrt{10}}\frac{t^{2}+1}{2t^{2}(1+t)}dt[/TEX][TEX]=\int_{-3+\sqrt{10}}^{3+\sqrt{10}}\frac{(t+1)^{2}-2t}{2t^{2}(1+t)}[/TEX]=......=3