Tính tích phân $\int\limits_0^1 {2{x^3}\ln (1 + {x^2} + x)dx} $

[nghgh97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tính tích phân sau:
$$\int\limits_0^1 {2{x^3}\ln (1 + {x^2} + x)dx} $$

 

[huyvchn]

mình đã cố nhập bằng công thức latex nhưng hơi khó khăn, bạn làm theo hướng này vậy

bạn tính tích phân từng phần.
sau đó phần còn lại được 1 đa thức, chia đa thức.
bạn đặt u=1+x+x^2, chuyển f(x)dx thành g(u)du.
kết quả cuối cùng ra tích phân là -5/3, nếu mình ko nhầm

 

[sonsac99]

giai nha

nguyen ham con cac ban nho tich phan nha


dat [TEX]u=ln(1+x^2+x)\Rightarrow du=\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx[/TEX]
[TEX]dv=2x^3dx \Rightarrow v=\frac{x^4}{2}[/TEX]
tich phan duoc viet lai la
[TEX]\frac{1}{2}x^4ln(1+x^2+x)-\int\frac{(2x+1)x^4}{2(x^2+xx+1)}dx[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}x^4ln(1+x^2+x)-I[/TEX]
giai I cac ban nho tu giai nha(lay tu chia mau la ra ngay ah)

 

[nghgh97]

giúp mình bài nguyên hàm nhé

1. $$\int {\dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 3} }}} dx$$
2. $$\int {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2} + 2}}{{4x + 1}}} dx$$
3. $$\int {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - \cos x} }}} dx$$
4. $$\int {\dfrac{{2x - \cos x}}{{x + \sin x}}} dx$$
5. $$\int {\dfrac{{\root 3 \of {1 + 3x + 4{x^2}} }}{{\sin x}}} dx$$
6. $$\int {\dfrac{{\ln (\cos 4x)}}{{\root 4 \of {1 + 8{x^2}} - 1}}} dx$$

 

[vivietnam]

1. $$\int {\dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 3} }}} dx$$

[TEX]1,=\int \frac{\sqrt{x+1}.(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2})}{1}dx=\int (\sqrt{(x+2)^2-1}-\sqrt{(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}})dx=...[/TEX]
về dạng [TEX]\int \sqrt{x^2-a^2}dx[/TEX]
đặt [TEX]x=\frac{a}{sint}[/TEX]

 

[vivietnam]

2. $$\int {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2} + 2}}{{4x + 1}}} dx$$

dùng phép thế ơ le
đặt [TEX]\sqrt{x^2+2}=x+t \Rightarrow x^2+2=x^2+2tx+t^2 \Rightarrow x=\frac{2-t^2}{2t} [/TEX]
[TEX] \Rightarrow dx= \frac{-2t.t-(2-t^2)}{2t^2}dt=\frac{-t^2-2}{2t^2}dt[/TEX]
[TEX]2=\int (\frac{\frac{2-t^2}{2t}+t+2}{4.\frac{2-t^2}{2t}+1}).(\frac{-t^2-2}{2t^2})dt[/TEX]
cái này tích phân phân thức hữu tỉ

 

[vivietnam]

3. $$\int {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - \cos x} }}} dx$$

gợi ý:áp dụng công thức lượng giác [TEX]1-cosx=2sin^2(\frac{x}{2})[/TEX]
sau đó tích phân từng phần