Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {2 - x} }}} dx$

[nghgh97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tính tích phân sau bằng 2 cách:
$$I = \int\limits_1^2 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {x - 1} }}} dx$$

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Bạn thử các hướng này sau xem sao
1. Bạn đặt $t = \sqrt{x-1}$
đưa về tích phân dạng thương là xong
2. Liên hợp với lượng $1-\sqrt{x -1}$

 

[btn_hd_1995]

dat : [TEX]\sqrt{2 - x} = t ( t > 0) [/TEX]
=> [TEX]2 - x = t^2 <=> - d_x = 2t.d_t[/TEX]
va[TEX] x = 2 - t^2[/TEX]
[TEX]I = \int \frac{-2t( 2 - t^2).d_t}{1 + t} = \int 2t( 1 - t) d_t = \int t.d_t - \int t^2.d_t = \frac{1}{2}.t^2 - \frac{1}{3}.t^3[/TEX]
to chi tinh nguyen ham thui! ban tu thay can nha!

 

[vivietnam]

tính tích phân
[TEX]I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+cos2x}dx[/TEX]

 

[hoanghondo94]

tính tích phân
[TEX]I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+cos2x}dx[/TEX]

$I= \frac {1}{2}\int_0^{\pi/4} \frac {x}{\cos^2 x}dx = \frac {1}{2}(x.\tan x)|_0^{\pi/4} - \frac {1}{2}\int_0^{\pi/4} \tan xdx = \frac {1}{2}(x.\tan x)|_0^{\pi/4} + \frac {1}{2} \ln |\cos x||_0^{\pi/4}=...$

..

 

[vivietnam]

tiếp bài này nè hhd....

[TEX]2,I=\int_0^e\frac{dx}{e^x-2}[/TEX]

 

[jet_nguyen]

tiếp bài này nè hhd....

$$2,I=\int_0^e\dfrac{dx}{e^x-2}$$

Ta biến đổi tích phân thành:
$$I=\int_0^e\dfrac{e^x}{e^x(e^x-2)}dx$$$$I=\int_0^e\dfrac{1}{e^x(e^x-2)}de^x$$$$= \dfrac{1}{2} \left(\int_0^e\dfrac{1}{e^x-2}de^x-\int_0^e\dfrac{1}{e^x}de^x \right)$$$$=\dfrac{1}{2}\left(\ln \bigg|\dfrac{e^x-2}{e^x} \bigg| \right) \bigg|_0^e$$

 

[vivietnam]

[TEX]I=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sinx(sinx+cosx)}{1+|sin2x|}dx[/TEX]

 

[nghgh97]

tl

[TEX]I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+cos2x}dx[/TEX]

Em chỉ tính nguyên hàm thôi
$I = \int {\dfrac{x}{{1 + \cos 2x}}dx} = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{x}{{{{\cos }^2}x}}} dx$
$u = x \Longrightarrow du = dx$
$dv = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Longrightarrow v = \tan x$
$I = \dfrac{1}{2}x\tan x - \dfrac{1}{2}\int {\tan xdx} = \dfrac{1}{2}x\tan x + \dfrac{1}{2}\ln (\cos x) + C$

 

[nghgh97]

tl

Giải thử bài này nhé (nguyên hàm thôi để khỏi thay cận vào )
$$\int {{x^3}{{(1 - x)}^{1997}}} dx$$

 

[jet_nguyen]

$$I=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x(\sin x+\cos x)}{1+|\sin2x|}dx$$

Ta biến đổi tích phân thành:
$$I=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x(\sin x+\cos x)}{1+|\sin2x|}dx$$$$= \int_{\frac{-\pi}{2}}^0 \dfrac{\sin x(\sin x+\cos x)}{1+|\sin2x|}dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x(\sin x+\cos x)}{1+|\sin2x|}dx$$$$= \int_{\frac{-\pi}{2}}^0 \dfrac{\sin x(\sin x+\cos x)}{1-\sin2x}dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x(\sin x+\cos x)}{1+\sin2x}dx$$ Ta có:
$$\bullet \,\ I_1=\int_{\frac{-\pi}{2}}^0 \dfrac{\sin x(\sin x+\cos x)}{1-\sin2x}dx$$$$= \int_{\frac{-\pi}{2}}^0 \dfrac{\sin x}{(\sin x-\cos x)^2}d(\sin x-\cos x)$$$$=-\int_{\frac{-\pi}{2}}^0 \sin x d \left(\dfrac{1}{\sin x-\cos x}\right). $$$$=-\dfrac{\sin x}{\sin x-\cos x} \bigg|_{\frac{-\pi}{2}}^0 +\int_{\frac{-\pi}{2}}^0 \dfrac{\cos x}{\sin x-\cos x}dx. $$$$\bullet \,\ I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x(\sin x+\cos x)}{1+\sin2x}dx$$$$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x(\sin x+\cos x)}{(\sin x+\cos x)^2}dx$$$$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$$ Tới đây có vẻ nhẹ nhàng hơn rồi.

 

[jet_nguyen]

Giải thử bài này nhé (nguyên hàm thôi để khỏi thay cận vào )
$$I=\int {{x^3}{{(1 - x)}^{1997}}} dx$$

Gợi ý:
Đặt: $t=1-x \Longrightarrow x=1-t \Longrightarrow dx=-dt$ Vậy tích phân trở thành:
$$ I=-\int (1-t)^3.t^{1997}dt$$$$= -\int [(1-3t+3t^2-t^3).t^{1997}]dt$$$$= -\int (t^{1997}-3t^{1998}+3t^{1999}-t^{2000})dt$$$$=- \left( \dfrac{t^{1998}}{1998}-\dfrac{3t^{1999}}{1999}+\dfrac{3t^{2000}}{2000}-\dfrac{t^{2001}}{2001} \right) +C$$ P/s: Sao Bạn không chế $x^{2012}$ cho đẹp nhỉ.