Bài toán này có một số khía cạnh như sau:
- $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^\circ$ có thể hiểu theo nghĩa: $S$ thuộc mặt phẳng qua $B$ vuông góc $BA$ và thuộc mặt phẳng qua $C$ vuông góc $CA$. Suy ra $S$ sẽ là giao tuyến của hai mặt phẳng này.
Giả sử giao tuyến này giao đáy tại $D$ thì $\widehat{DBA} = \widehat{DCA} = 90^\circ$, hay nói cách khác, $ABDC$ là một hình vuông.
Như vậy, ta đã đưa dữ kiện này về một thứ quen thuộc hơn là hình chóp đáy vuông $S.ABDC$.
(Bước này bạn có thể có hoặc không cũng được, nhưng thói quen của mình là đưa về những cái quen thuộc trước để làm cho nhanh 
)
- Tới đây, ta xác định góc $60^\circ$ mà đề cho. Ở đây có hai hướng:
- Hạ $DH \perp SB$ và $DK \perp SC$, khi đó góc cần tính sẽ là $\widehat{HDK}$. Tuy nhiên để tính góc này thì không dễ cho lắm (mặc dù vẫn khả thi nhé)
- Hạ $CE \perp SA$ thì do tính đối xứng, $BE \perp SA$ luôn. Góc cần tính là $\widehat{CEB}$ và góc này có vẻ là dễ ăn hơn nên mình sẽ theo hướng này.
Tuy nhiên, lưu ý ở đây là $\widehat{CEB}$ có thể bằng $60^\circ$ hoặc $120^\circ$ nên ta phải xét đủ 2TH.
- Cuối cùng: làm sao để từ $SA = a$ mà sử dụng được góc này???
Ý mình là: do từ $SA$ khá là khó để tính các cạnh khác nên bạn sẽ dùng các cạnh khác để tính ngược lại $SA$
Bắt đầu nhé: kẻ hình vuông $ABDC$ thì theo đề bài ta có $SD \perp (ABDC)$. Gọi cạnh hình vuông là $x$!
Kẻ $CE \perp SA$ thì theo đề bài ta có:
TH1: $\widehat{CEB} = 60^\circ$, khi đó $CE = BE = BC = x \sqrt{2}$. Từ đó theo hệ thức lượng trong $\triangle{SCA}$, tính được $SC = ...$ không tính được. Lý do: $CE = BC > AC$, vô lý do $CE < AC$.
TH2: $\widehat{CEB} = 120^\circ$, khi đó $CE = BE = \dfrac{BC}{\sqrt{3}} = x \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Khi đó $SC = x \sqrt{2}$, suy ra $SD = x$. Từ đó thể tích $S_{ABC} = \dfrac12 S_{ABDC} = \dfrac16 \cdot x \cdot x^2 = \dfrac16 x^3$.
Cơ mà khoan, nãy giờ mình chưa dùng đến $SA$ đúng không? Tính $a = SA = x \sqrt{3}$ nên ta có $x = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Vậy thay vào lại: $S_{ABC} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{54}$, chọn đáp án A. Hy vọng là mình không tính sai chỗ nào
Nếu có thắc mắc, bạn có thể hỏi lại bên dưới. Chúc bạn học tốt!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
