1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có d[A;(SBC)]=a, [SA,(ABC)]=60. Tính V của khối chóp.
2. Cho tứ diện S.ABC có SA=SB=SC=a và ASB=BSC=CSA=60. Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC).
a. CMR SH là phân giác của góc BSC.
b. Tính V của khối tứ diện.
1. SA giao với (ABC) bằng A
SO vuông góc với (ABC) (với O là tâm đáy ) => AO là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC)
=> góc giữa SA và (ABC) bằng góc SAO và bằng 60
Đặt AB=BC=AC=x
[TEX]=>AM =\frac{x\sqrt{3}}{2}[/TEX]
[TEX]=>AO =\frac{2}{3}AM=\frac{x\sqrt{3}}{3}[/TEX]
Xét tam giác SAO vuông tại O có
[TEX]AO =\frac{x\sqrt{3}}{3}[/TEX],góc SAO bằng 60
[TEX]=>SO = AO.tan SAO =\frac{x\sqrt{3}}{3}.tan60 = x[/TEX]
AO giao (SBC) = M =>M là trung điểm BC
[tex]=>\frac{d(A,SBC)}{d(O,SBC)}=\frac{AM}{OM}=3[/tex]
[tex]=>d(O,SBC) =\frac{a}{3}[/tex]
Tam giác ABC đều , tam giác SBC cân (Do SABC là hình chóp tam giác đều) =>OM,SM cùng vuông góc với BC
=> (SOM) vuông góc với BC => (SBC) vuông góc với (SOM)
(SBC) giao với (SOM) bằng SM
Hạ OH vuông góc với SM=> OH vuông góc với (SBC)[tex] => d(O,SBC) = OH =\frac{a}{3}[/tex]
[tex]OM=\frac{1}{3}AM =\frac{x\sqrt{3}}{6}[/tex]
Xét tam giác SOM vuông tại O có OH vuông góc với SM
[tex]=>\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OM^2}[/tex]
[tex]=> \frac{1}{(\frac{a}{3})^2}=\frac{1}{(\frac{x\sqrt{3}}{6})^2}+\frac{1}{x^2}[/tex]
[TEX]=>x= \frac{a\sqrt{13}}{3}[/TEX]
=>diện tích ABC [tex]=\frac{1}{2}AM.BC=\frac{13a^2\sqrt{3}}{36}[/tex]
=>Thể tích SABC [tex] =\frac{13a^3\sqrt{39}}{324}[/tex]
2.
a, Tam giác cân SAB, SAC, SBC đều có 1 góc bằng 60=> là tam giác đều=> Tam giác ABC đều, AB=BC=AC=a
Gọi M là trung điểm BC => AM, SM cùng vuông góc với BC => BC vuông góc với (SAM) =>(SBC)vuông góc với (SAM)
Mà (SBC) giao với (SAM) bằng SM
Từ A hạ AH vuông góc với SM => AH vuông góc với (SBC) =>H là hình chiếu của A trên (SBC)
=> H nằm trên SM => H thuộc đường phân giác của góc BSC
b,Vì SA=SB=SC => SO vuông góc với (ABC)<=> O là tâm của tam giác ABC
[TEX]=>AM =\frac{a\sqrt{3}}{2}[/TEX]
[TEX]=>AO =\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}[/TEX]
Xét tam giác vuông SOA có
[tex]SO =\sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{a^2-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}[/tex]
=> Thể tích khối chóp là [tex] V =\frac{a^3\sqrt{2}}{6}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn