Toán 9 Tính[tex]S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}-99\sqrt{100}}[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tính [tex]S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}-99\sqrt{100}}[/tex]

 

[Lê Tự Đông]

Tính [tex]S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}-99\sqrt{100}}[/tex]

Ta có: $\frac{1}{(k+1).\sqrt{k}+k.\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}.(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k(k+1)}} = \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ ($k \in N^*$)
=> $S=....=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}} = 1-\frac{1}{10}= \frac{9}{10}$