Toán 8 Tính nhanh

[Dorecefa the 2k6]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả giá trị của [TEX]k[/TEX] thỏa mãn [TEX]x+y+z=x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{4}+y^{4}+z^{4}=k[/TEX]

 

[Hoàng Vũ Nghị]

[tex](x+y+z)(x^3+y^3+z^3)\\=x^4+y^4+z^4+xy^3+xz^3+yz^3+yx^+zx^3+zy^3\\=(x^2+y^2+z^2)^2\\=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2[/tex]
Ta có
[tex]2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\leq \sum x(y^3+z^3)[/tex] (đúng theo định lý muirhead )
Dấu = xảy ra khi x=y=z
Khi đó [tex]x=x^2\\\Leftrightarrow x(1-x)=0[/tex]
Suy ra x=0 hoặc x=1
Với x=0 thì k=0
Với x=1 thì k=3
Vậy k thuộc 1;3