Toán 12 Tính nguyên hàm

[TyhLinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm nguyên hàm:
1. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}$
2. [tex]\displaystyle\int \dfrac{3x^{2}+2x-1}{x^{2}+2x-3}\mathrm{d}x[/tex]
3. [tex]\displaystyle\int\dfrac{x^{2}+5}{x^{2}+2x+1}\mathrm{d}x[/tex]

 

[minhhoang_vip]

2. $I=\displaystyle \int{\dfrac{3x^2+2x-1}{x^2+2x-3}}\mathrm{d}x$
$= \displaystyle \int{\left ( 3+ \dfrac{8-4x}{x^2+2x-3} \right )}\mathrm{d}x$ (chia tử cho mẫu)
$= \displaystyle \int{ 3} \mathrm{d}x + \int{\left ( \dfrac{8-4x}{x^2+2x-3} \right )}\mathrm{d}x \\
=3x+C_0+J$
+ Tính $J= \displaystyle \int{\left ( \dfrac{8-4x}{x^2+2x-3} \right )}\mathrm{d}x$
$ \dfrac{8-4x}{x^2+2x-3} = \dfrac{8-4x}{(x+3)(x-1)} = \dfrac{A}{x+3} + \dfrac{B}{x-1}$
$= \dfrac{A(x-1)+B(x+3)}{(x+3)(x-1)} \\
= \dfrac{Ax-A+Bx+3B}{(x+3)(x-1)} \\
= \dfrac{(A+B)x+(3B-A)}{(x+3)(x-1)}$
Ta có hệ phương trình: $
\left\{\begin{matrix}
A+B=-4 \\ 3B-A=8
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
A=-5 \\ B=1
\end{matrix}\right.
$
Do đó: $ \dfrac{8-4x}{x^2+2x-3} = \dfrac{8-4x}{(x+3)(x-1)} = \dfrac{-5}{x+3} + \dfrac{1}{x-1}$
$J= \displaystyle \int{\left ( \dfrac{-5}{x+3} + \dfrac{1}{x-1} \right )}\mathrm{d}x \\
= \displaystyle \int{\left ( \dfrac{-5}{x+3} \right )}\mathrm{d}x + \int{\left ( \dfrac{1}{x-1} \right )}\mathrm{d}x \\
= \displaystyle -5 \int{\left ( \dfrac{1}{x+3} \right )}\mathrm{d}x + \int{\left ( \dfrac{1}{x-1} \right )}\mathrm{d}x \\
=-5 \ln{|x+3|} + \ln{|x-1|}+C_1$
Vậy $I= 3x -5 \ln{|x+3|} + \ln{|x-1|}+C $

3. $K=\displaystyle\int\dfrac{x^{2}+5}{x^{2}+2x+1}\mathrm{d}x$
$= \displaystyle \int{\left ( 1+ \dfrac{4-2x}{x^2+2x+1} \right )}\mathrm{d}x$ (chia tử cho mẫu)
$= \displaystyle \int \mathrm{d}x + \int{\left ( \dfrac{4-2x}{x^2+2x+1} \right )}\mathrm{d}x \\
=x+C_0+K_1$
+ Tính $K_1 = \displaystyle \int{\left ( \dfrac{4-2x}{x^2+2x+1} \right )}\mathrm{d}x $
$K_1 = \displaystyle \int{\left ( \dfrac{4-2x}{x^2+2x+1} \right )}\mathrm{d}x = \displaystyle \int{\left ( \dfrac{4-2x}{(x+1)^2} \right )}\mathrm{d}x $
Ta có $\dfrac{4-2x}{(x+1)^2} = \dfrac{A}{(x+1)} + \dfrac{B}{(x+1)^2} = \dfrac{Ax+A+B}{(x+1)^2}$
Ta có hệ phương trình: $
\left\{\begin{matrix}
A=-2 \\ A+B=4
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
A=-2 \\ B=6
\end{matrix}\right.$
Do đó: $\dfrac{4-2x}{(x+1)^2} = \dfrac{-2}{x+1} + \dfrac{6}{(x+1)^2}$
$K_1 = \displaystyle \int{\left ( \dfrac{4-2x}{x^2+2x+1} \right )}\mathrm{d}x \\
= \displaystyle \int{\left ( \dfrac{-2}{x+1} + \dfrac{6}{(x+1)^2} \right )}\mathrm{d}x \\
= \displaystyle \int{\left ( \dfrac{-2}{x+1} \right )}\mathrm{d}x + \int{\left ( \dfrac{6}{(x+1)^2} \right )}\mathrm{d}x \\
= \displaystyle -2 \int{\left ( \dfrac{1}{x+1} \right )}\mathrm{d}x + 6 \int{\left ( \dfrac{1}{(x+1)^2} \right )}\mathrm{d}x \\
= -2 \ln{|x+1|}- \dfrac{6}{x+1}+C_1$
Vậy $K=x-2 \ln{|x+1|}- \dfrac{6}{x+1}+C $

 

[iceghost]

Tìm nguyên hàm:
1. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}$
2. [tex]\displaystyle\int \dfrac{3x^{2}+2x-1}{x^{2}+2x-3}\mathrm{d}x[/tex]
3. [tex]\displaystyle\int\dfrac{x^{2}+5}{x^{2}+2x+1}\mathrm{d}x[/tex]

1. Nhìn cái mẫu thấy quen quen: $$I = \int \dfrac{\mathrm{d}x}{2 \sin \left( x + \dfrac{\pi}3 \right)} = \int \dfrac{\mathrm{d}t}{2 \sin t}$$
với $t = x + \dfrac{\pi}3$. Tới đây tích phân này khá là quen thuộc nhỉ: $$I = \int \dfrac{\sin t \, \mathrm{d}t }{2 \sin^2 t} = \int \dfrac{- \mathrm{d}u}{2(1 - u^2)}$$
với $u = \cos x$. Tới đây bạn tách phân thức ra là xong nhé

Nếu có câu hỏi, thắc mắc gì thêm, bạn hãy hỏi lại bên dưới nha. Chúc bạn học tốt!